¿Existen hipérbolas en el plano complejo?

Mi pregunta es algo larga, pero intentaré ser conciso y sin ambigüedades en mi explicación.

En mi clase de matemáticas de la escuela secundaria, recientemente se nos presentó el gráfico de una hipérbola y se nos desafió a derivar ciertos hechos para derivar su ecuación.

Mi pregunta solo se centra en la parte final de la derivación, cuando la ecuación tratada era:

X 2 ( 1 − mi 2 ) + y 2 = a 2 ( 1 − mi 2 )

Dónde mi representa la excentricidad, y a representa una constante positiva.

Simplemente divide por a 2 ( 1 − mi 2 ) , y usa la sustitución b 2 = a 2 ( 1 − mi 2 ) , dónde b es otra constante positiva, y se encuentra la ecuación para una elipse:

X 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1

Se nos mostró que todo lo que uno tenía que hacer para obtener la ecuación de una hipérbola era multiplicar la ecuación original por − 1 , de modo que se convirtió en:

X 2 ( mi 2 − 1 ) − y 2 = a 2 ( mi 2 − 1 )

La sustitución también cambia ligeramente, para convertirse en b 2 = a 2 ( mi 2 − 1 ) . Entonces se puede encontrar la ecuación para una hipérbola.

Mi pregunta es simplemente por qué esta multiplicación fue necesaria. Me parece que multiplicar ambos lados de una ecuación por algún factor no cambia nada al respecto y, por lo tanto, el único cambio real fue cuando b 2 = a 2 ( 1 − mi 2 ) convertirse b 2 = a 2 ( mi 2 − 1 ) . ¿Por qué era esto necesario y qué implica sobre las hipérbolas?

¿Era necesario porque para las hipérbolas la excentricidad mi es mayor que uno, por lo que b 2 = a 2 ( 1 − mi 2 ) implicaría b es un numero complejo? Y si es así, ¿puede pensarse que la operación restringe el dominio y el rango de una hipérbola al conjunto de todos los números reales?

Esa es mi pregunta principal, pero tengo otra, que es un poco más vaga:

Si las hipérbolas tienen un componente complejo, ¿una gráfica en el plano complejo forma una sección transversal de una forma tridimensional o tetradimensional, de la misma manera que una elipse forma una sección transversal de una pelota de fútbol? Expresado de otra manera: las elipses están acotadas en el conjunto de todos los números reales; ¿las hipérbolas están acotadas en el conjunto de todos los números complejos?

Tienes razón en que multiplicar una ecuación entera por − 1 no cambia el conjunto de soluciones; ¿estás seguro de que toda la ecuación se multiplicó por − 1 , y no meramente el y 2 ¿término? (Sobre los números complejos, y ↦ i y es un tipo de "rotación de mecha" y convierte la ecuación de una elipse en la ecuación de una hipérbola).
Sí, así lo creo. Porque 1 − mi 2 convertirse mi 2 − 1 . Puedes multiplicar ambos lados por − 1 y expandir para confirmar.
Su ecuación , tal como se escribió, ciertamente se ha multiplicado por completo por − 1 . :) Mi pregunta es, ¿estás seguro de que está escrito correctamente? Suponiendo que la ecuación está escrita correctamente, el punto es que si mi 2 < 1 y a es real, entonces b es imaginario. Absorbiendo la unidad imaginaria en la variable y equivale a hacer la rotación de la mecha indicada.

Respuestas (1)

Mi pregunta solo se centra en la parte final de la derivación, cuando la ecuación tratada era:

X 2 ( 1 − mi 2 ) + y 2 = a 2 ( 1 − mi 2 )

Nótese en esta ecuación que si mi < 0 entonces los coeficientes de X 2 y y 2 ambos son positivos, lo que indica una elipse. Si mi > 0 , entonces el coeficiente de X 2 es negativo mientras que el de y 2 (cual es 1 ) sigue siendo positivo. Como son de signos opuestos, esto sería una hipérbola.

En cualquier caso, dividir por la RHS da

X 2 a 2 + y 2 a 2 ( 1 − mi 2 ) = 1

si multiplicas por − 1 primero, luego se divide, se obtiene

X 2 a 2 − y 2 a 2 ( mi 2 − 1 ) = 1

Estas dos ecuaciones son exactamente iguales. En ambos, si mi < 1 , entonces el coeficiente de y 2 es positivo y si mi > 1 , el coeficiente es negativo.

La razón para hacer esto es que queremos sustituir b 2 para el denominador de la y 2 término, y b 2 debe ser positivo. Así que cuando mi < 1 , usamos la primera forma y dejamos b 2 = a 2 ( 1 − mi 2 ) . Cuando mi > 1 , usamos la segunda forma y dejamos b 2 = a 2 ( mi 2 − 1 ) .

entonces multiplicando por − 1 no cambió la ecuación. Simplemente permitió la b 2 sustitución cuando mi > 1 .

Las elipses están acotadas en el conjunto de todos los números reales. ¿Las hipérbolas están acotadas en el conjunto de todos los números complejos?

Supongo que con esto estás hablando de dejar X , y ser valores complejos, no sólo números reales. Entonces la respuesta obviamente es no, ya que los números reales también son números complejos. Dado que las hipérbolas son ilimitadas en los reales, también lo son en los números complejos. En cambio, lo que sucede es que las elipses también son ilimitadas. De hecho, estas "elipses complejas" e "hipérbolas complejas" tienen la misma forma. Tenga en cuenta que

X 2 a 2 + y 2 b 2 = 1
es equivalente a
X 2 a 2 − ( i y ) 2 b 2 = 1

Entonces ( X , y ) se encuentra en la elipse si y solo ( X , i y ) se encuentra en la hipérbola. multiplicando por i gira el plano complejo 90 grados.

Entonces, la única diferencia entre elipses e hipérbolas es con qué plano está cortando la forma compleja 4D para obtener la forma real 2D.

Pero ya estás familiarizado con una relación así. Después de todo, eligió la etiqueta "secciones cónicas". Supongo que sabes de dónde viene ese término. (Aunque la forma que se corta es diferente: los conos son 3D, mientras que esta forma compleja es 4D).

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