El potencial y la intensidad del campo gravitacional en el eje de una placa circular [cerrado]

Primero calculemos el potencial para un anillo de radio$a$A una distancia$x$desde el centro a lo largo del eje

Potencial debido a un elemento de masa infinitesimal$dm$será

$$\frac{-Gdm}{\sqrt{a^2+x^2}}$$

El potencial debido al anillo es entonces

$$\int{\frac{-Gdm}{\sqrt{a^2+x^2}}}=\frac{-G}{\sqrt{a^2+x^2}}\int{dm}=\frac{-Gm}{\sqrt{a^2+x^2}}$$

Desde$G, a, x$son constantes

Ahora rompamos el disco en anillos infinitesimales de masa$dm=2\pi rdr\frac{M}{\pi a^2} (=area * density)$

El potencial debido a un anillo de radio$r$y masa$dm$como se indica arriba es

$$\frac{-Gdm}{\sqrt{r^2+x^2}}=\frac{-2GMrdr}{a^2\sqrt{r^2+x^2}}$$

Integrando esto de$0$a$a$

$$\int{\frac{-2GMrdr}{a^2\sqrt{r^2+x^2}}}$$ $$=\frac{-GM}{a^2}\int{\frac{2rdr}{\sqrt{r^2+x^2}}}$$ poniendo $t^2=r^2+a^2$y $2rdr=2tdt$ $$=\frac{-GM}{a^2}\int{\frac{2tdt}{\sqrt{t^2}}}$$ $$=\frac{-GM}{a^2}[2t]^{\sqrt{a^2+x^2}}_{x}$$ $$=\frac{-2GM}{a^2}({\sqrt{a^2+x^2}}-{x})$$

Para la intensidad, se puede ver por simetría que está a lo largo del eje, por lo que trabajamos solo con componentes axiales.

Entonces, para el anillo

$$\int\frac{-Gdmcos\theta}{a^2+x^2}$$ dónde $\theta$es la mitad del ángulo subtendido por el punto en el anillo $$cos\theta=\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}$$

$$K=\int\frac{-Gxdm}{(a^2+x^2)^{3/2}}=\frac{-Gxm}{(a^2+x^2)^{3/2}}$$

Para un disco, basado en el mismo razonamiento que en potencial, es

$$K=\int\frac{-Gxdm}{(r^2+x^2)^{3/2}}$$ $$=\int\frac{-2GMxrdr}{a^2(r^2+x^2)^{3/2}}$$ $$=\int\frac{-2GMxtdt}{a^2(t^2)^{3/2}}$$ $$=\int\frac{-2GMxdt}{a^2t^2}$$ $$=\frac{-2GMx}{a^2}[\frac{-1}{t}]^{\sqrt{a^2+x^2}}_x$$

$$K=\frac {2 G M}{a^2} \left( \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}-1 \right)$$

Rompamos el disco en pequeños anillos,

Aquí la masa en el disco está a la misma distancia$\sqrt{x^2+r^2}$desde el punto del eje A.

Entonces, potencial

$$\mathrm dE=-\frac{G\,\mathrm dm}{\sqrt{x^2+r^2}}$$

Dónde$\mathrm dm$= masa del anillo. Entonces,

$$\mathrm dm=2\pi r\,\mathrm dr \times \frac M{\pi R^2}$$

También$r=x\tan\phi$, entonces$\mathrm dr=x\sec^2\phi\,\mathrm d\phi$

Entonces, el potencial es

$$\mathrm dP=-\frac{GM2\pi x\tan\phi x\sec^2\phi\,\mathrm d\phi}{\left(x\sqrt{1+\tan^2\phi}\right)\times\pi R^2}=-\frac{2 GMx}{R^2}\times\tan\phi\sec\phi\,\mathrm d\phi$$

Entonces,

$$P=-\dfrac{2GMx}{R^2}\times\int\limits_0^{\tan^{-1}R/x} \tan\phi\sec\phi\,\mathrm d\phi$$ Puedes integrarlo por tu cuenta.

Puede proceder de manera similar para el campo eléctrico. Pero antes de integrar, deberá tomar componentes de campo a lo largo del eje y perpendiculares porque es un vector y no se puede agregar directamente.

Obtendrá integrando de campo como

$$\mathrm dE_x=\frac{2GM}{R^2}\times \int\limits_0^{\tan^{-1}R/x}\frac{\tan\phi\sec\phi}{\sec^2\phi}\,\mathrm d\phi$$

mientras que a lo largo$Y$no obtendrá ningún campo por argumento simétrico.