Ley de Gauss para la gravedad para encontrar el campo gravitacional de una barra finita

Para encontrar el campo gravitacional en el Punto P en la figura:ingrese la descripción de la imagen aquí

Una solución es dibujar el campo de una masa

d gramo → = GRAMO d metro r 2
e integrar sobre d metro , sumando vectorialmente.

Sin embargo, si uno usa la Ley de Gauss para la Gravedad:

∮ gramo → ⋅ d A → = − 4 π GRAMO METRO
uno puede encontrar fácilmente el campo de la barra vertical (considerando un cilindro gaussiano centrado en la barra con altura 2 a y radio 2 a ).

Mi pregunta es, hay alguna manera de aplicarlo a la barra horizontal también?

Gracias.

Estás equivocado al pensar que puedes encontrar el campo de la barra vertical en la forma que describes.
El uso de la ley de Gauss requiere algún tipo de simetría que hace que la integral de superficie sea un simple problema de multiplicación (área por flujo constante ). En ninguna parte este problema presenta esa oportunidad.
Hay muchas preguntas sobre la versión eléctrica de esto: no puedes usar la ley de G ya que no hay superficie en la que el flujo sea constante. Tenga en cuenta como una observación obvia que el lado izquierdo de su primera ecuación es un vector, mientras que el rhs es un escalar, por lo que esto no puede ser correcto.

Respuestas (2)

La ley de Gauss es importante y cuando se aplica por primera vez a situaciones simples, muestra que predice valores para campos gravitatorios que son consistentes con los encontrados cuando se usa la ley del inverso del cuadrado.

Así que empiezas con una masa puntual y dibujas una esfera gaussiana con centro en la masa que la rodea.
Aplicar la ley de Gauss es sencillo porque el campo gravitacional es perpendicular a la superficie y tiene una magnitud constante, por lo que el producto mi → ⋅ d A → = mi d A y por lo tanto se puede encontrar la magnitud del campo.

Ahora mire tratando de encontrar el campo gravitacional debido a la masa de dos puntos.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Por lo tanto, el cilindro gaussiano rojo podría ser la primera opción; sin embargo, se encuentran inmediatamente dos problemas si se desea utilizar la ley de Gauss.
Las líneas del campo gravitacional no forman ángulos rectos con la superficie y la magnitud del campo eléctrico no es la misma en cada punto de la superficie gaussiana.

Las líneas verdes son superficies equipotenciales que están en ángulo recto con la línea de campo y, por lo tanto, se pueden usar como superficie gaussiana, pero piense en la complejidad de hacer la integración.

Se puede pensar en su varilla como una serie de masas puntuales todas alineadas en una fila que se suman a la complejidad de la integración.
Entonces, usar la ley de Gauss para ambas cargas a la vez no será un buen comienzo.
Es mejor usar Gauss (o la ley del cuadrado inverso) para cada carga individualmente y luego sumar y luego encontrar el campo resultante por superposición.

Esto ilustra el punto de que la simple aplicación de la ley de Gauss requiere que el sistema tenga simetría y aquellos ejemplos relativamente simples donde se usó la ley de Gauss fueron elegidos cuidadosamente.

Usamos la Ley de Gauss para encontrar el campo cuando es fácil calcular la integral de superficie y el campo en la superficie es constante, de modo que podamos tomar el campo como constante, calcular la integral y obtener el campo.

En el caso de dos barras, no es posible considerar una superficie cuya integral de superficie sea fácil de calcular y el campo sea constante.

Es mejor usar la superposición aquí para calcular el campo.

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