Tratando de entender el límite newtoniano de GR

Question

Tratando de entender el límite newtoniano de GR

Alex Zeffert

Primera publicación, por favor sea amable.

Estoy tratando de entender cómo la Relatividad General se vuelve equivalente a las leyes de movimiento de Newton, más la ley de atracción gravitacional de Newton en el caso límite de bajas velocidades y baja masa. ¡Pero me he despegado incluso en el caso más simple!

Estoy imaginando un satélite en una órbita perfectamente circular alrededor de un planeta. Debería ser posible elegir coordenadas $t,\theta,\phi,r$ tal que $r,\phi$ y los valores métricos $g_{\theta\theta},g_{tt},g_{t\theta}$ son constantes a lo largo de la órbita.

Ahora, dejando $dt$ ser fijo, según tengo entendido GR dice que el satélite se mueve a lo largo de una geodésica, es decir, un camino por el cual el elemento de línea $ds$ está optimizado, donde:

d s^{2} = C^{2} d τ^{2} = d t^{2} {gramo}_{t t} + d θ^{2} {gramo}_{θ θ} + 2 d t d θ {gramo}_{t θ}

$ds^2 = c^2 d\tau^2 = dt^2 g_{tt} + d\theta^2 g_{\theta\theta} + 2 dt d\theta g_{t\theta}$

Pensé que debería ser posible resolver esto y calcular la velocidad angular $\omega$ del satélite en términos de $g$ . Así que reescribí lo anterior como

d s^{2} = d t^{2} ({gramo}_{t t} + ω^{2} {gramo}_{θ θ} + 2 ω {gramo}_{t θ})

$ds^2 = dt^2 (g_{tt}+\omega^2 g_{\theta\theta} + 2\omega g_{t\theta})$

y luego encontré el máximo al diferenciar wrt $\omega$ y poniendo a 0:

0 = 2 ω {gramo}_{θ θ} + 2 {gramo}_{t θ}

$0 = 2 \omega g_{\theta\theta} + 2 g_{t\theta}$

es decir

ω = - \frac{{gramo}_{t θ}}{{gramo}_{θ θ}}

$\omega = -\frac{g_{t\theta}}{g_{\theta\theta}}$

Pero debo haberme equivocado en alguna parte de mi razonamiento ya que hay dos soluciones para $\omega$ en la teoría de Newton (puedes orbitar en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj), pero lo anterior da solo uno.

MariusMatutiae

Pista: ¿por qué crees que

g_{t θ} \neq 0

$g_{t\theta} \neq 0$ ???

Alex Zeffert

Si

g_{t θ} = 0

$g_{t\theta} =0$ no obtendrías tampoco

ω = 0

$\omega = 0$ o

ω = \infty

$\omega = \infty$ (dependiendo de si

g_{θ θ}

$g_{\theta\theta}$ es positivo o negativo)? Ninguno de los cuales coincide con la solución newtoniana.

fqq

cero dividido por un número negativo sigue siendo cero, no infinito

Alex Zeffert

Sí, cero sería la solución correcta para el punto estacionario de

d s^{2} (ω)

$ds^2(\omega)$ , pero eso puede ser un mínimo, no un máximo.

MariusMatutiae

Pista 2: Eso es solo porque no estás minimizando correctamente...

Alex Zeffert

ah Si minimizo

d s

$ds$ en lugar de

d s^{2}

$ds^2$ y asumir

g_{t θ} = 0

$g_{t\theta}=0$ yo obtengo

0 = \frac{ω g_{θ θ}}{\sqrt{g_{t t} + g_{θ θ} ω^{2}}}

$0 = \frac{\omega g_{\theta\theta}}{\sqrt {g_{tt}+g_{\theta\theta}\omega^2}}$ que en realidad está optimizado si

ω = \pm \sqrt{\frac{- g_{t t}}{g_{θ θ}}}

$\omega =\pm\sqrt{\frac{-g_{tt}}{g_{\theta\theta}}}$ ¿Está tan cerca?

Alex Zeffert

Deseche eso. Lo que acabo de escribir es una tontería. La solución seguiría siendo cero. No puedo creer que sea solo cálculo en lo que me estoy atascando. (Aunque fue hace mucho tiempo que lo hice en la universidad).

qmecanico

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/211930/2451 y enlaces allí.

Alex Zeffert

Lo único que puedo ver es que si

g_{t θ} = 0

$g_{t\theta} = 0$ entonces debemos tener

| ω | < \sqrt{\frac{- g_{t t}}{g_{θ θ}}}

$\left|\omega \right | < \sqrt{\frac{-g_{tt}}{g_{\theta\theta}}}$ para

d s

$ds$ para ser un segmento de línea temporal válido. eso sugiere

\pm \sqrt{\frac{- g_{t t}}{g_{θ θ}}}

$\pm \sqrt{\frac{-g_{tt}}{g_{\theta\theta}}}$ como la solución. Pero eso no es del todo correcto ya que esos valores darían

d s = 0

$ds = 0$ y la geodésica debe optimizar el tiempo adecuado no minimizarlo. Sigo confundido. PD: En realidad no es tarea, ¡no lo he hecho en 20 años!

Alex Zeffert

Creo que ahora entiendo: tenía la premisa equivocada. La geodésica es el camino que optimiza

\int_{t_{0}, θ_{0}}^{t_{1}, θ_{1}} d s

$\int_{t_0,\theta_0}^{t_1,\theta_1} ds$ . Así que se suponía que debía elegir los valores inicial y final para mis coordenadas y luego buscar la ruta correcta entre ellos. Sin embargo, lo que hice fue elegir los valores inicial y final de

t

$t$ sólo y preguntar cuál es el cambio en

θ

$\theta$ sería, que no es como se supone que debe funcionar.

Respuestas (1)

Tratando de entender el límite newtoniano de GR

Si $g_{t\theta} =0$ no obtendrías tampoco $\omega = 0$ o $\omega = \infty$ (dependiendo de si $g_{\theta\theta}$ es positivo o negativo)? Ninguno de los cuales coincide con la solución newtoniana.
cero dividido por un número negativo sigue siendo cero, no infinito
Sí, cero sería la solución correcta para el punto estacionario de $ds^2(\omega)$ , pero eso puede ser un mínimo, no un máximo.
Pista 2: Eso es solo porque no estás minimizando correctamente...
ah Si minimizo $ds$ en lugar de $ds^2$ y asumir $g_{t\theta}=0$ yo obtengo $0 = \frac{\omega g_{\theta\theta}}{\sqrt {g_{tt}+g_{\theta\theta}\omega^2}}$ que en realidad está optimizado si $\omega =\pm\sqrt{\frac{-g_{tt}}{g_{\theta\theta}}}$ ¿Está tan cerca?
Deseche eso. Lo que acabo de escribir es una tontería. La solución seguiría siendo cero. No puedo creer que sea solo cálculo en lo que me estoy atascando. (Aunque fue hace mucho tiempo que lo hice en la universidad).
Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/211930/2451 y enlaces allí.
Lo único que puedo ver es que si $g_{t\theta} = 0$ entonces debemos tener $\left|\omega \right | < \sqrt{\frac{-g_{tt}}{g_{\theta\theta}}}$ para $ds$ para ser un segmento de línea temporal válido. eso sugiere $\pm \sqrt{\frac{-g_{tt}}{g_{\theta\theta}}}$ como la solución. Pero eso no es del todo correcto ya que esos valores darían $ds = 0$ y la geodésica debe optimizar el tiempo adecuado no minimizarlo. Sigo confundido. PD: En realidad no es tarea, ¡no lo he hecho en 20 años!
Creo que ahora entiendo: tenía la premisa equivocada. La geodésica es el camino que optimiza $\int_{t_0,\theta_0}^{t_1,\theta_1} ds$ . Así que se suponía que debía elegir los valores inicial y final para mis coordenadas y luego buscar la ruta correcta entre ellos. Sin embargo, lo que hice fue elegir los valores inicial y final de $t$ sólo y preguntar cuál es el cambio en $\theta$ sería, que no es como se supone que debe funcionar.

Alex Zeffert · Answer 1

No estoy seguro de la etiqueta de esto, pero creo que ahora puedo responder mi propia pregunta. Por favor publique si hay una mejor respuesta.

El problema es que entendí mal el significado de la afirmación "la geodésica es el camino que optimiza el tiempo adecuado". Lo que esto significa es que dados dos puntos finales, digamos $x_0^\alpha$ y $x_1^\alpha$ una geodésica es un camino $x^\alpha(\lambda)$ con eso satisface

$x^\alpha(\lambda_0) = x_0^\alpha$

$x^\alpha(\lambda_1) = x_1^\alpha$

para algunos $\lambda_0, \lambda_1$ y optimiza

$\int_{\lambda_0}^{\lambda_1}ds = \int_{\lambda_0}^{\lambda_1}\sqrt{g_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta}$

Sin embargo, lo que estaba haciendo era variar una coordenada de los puntos finales, en lugar de fijar los puntos finales y variar la ruta.

Supongo que la dificultad está en cambiar la mentalidad de una newtoniana (sabes dónde estás y tu velocidad, ahora determina dónde estarás) a una lagrangiana (?) (sabes dónde comienzas y terminas, ahora descubre el camino tomado).

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Alex Zeffert

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