¿Cómo introduzco correctamente el tiempo en esta ecuación?

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¿Cómo introduzco correctamente el tiempo en esta ecuación?

gravedad
Física
energía potencial
gravedad newtoniana
ecuaciones diferenciales
deberes-y-ejercicios

Zacarías F.

Entonces, durante los últimos años, mi objetivo ha sido crear una ecuación que me diera la posición de un objeto en un campo gravitatorio en el tiempo $t$ , dada su posición inicial y velocidad. Al principio el problema era que no sabía lo suficiente para hacer los cálculos. Ahora que puedo hacer cálculo multivariable, pensé que el problema se resolvería, pero terminé encontrándome con un nuevo problema. Por favor, no me digas cómo resolverlo, pero si puedes darme una pista, sería genial. Aquí está la configuración para el problema:

Un planeta de masa $M$ (y radio = 0) está situado en el origen. Sé que la magnitud de la aceleración de la gravedad es

\frac{GRAMO METRO}{r^{2}}

$\frac{GM}{r^2}$ por lo que un objeto en

(x, y)

$(x,y)$ tendrá aceleración

a (X, y) = \frac{GRAMO METRO}{X^{2} + y^{2}},

$a(x,y)= \frac{GM}{x^2+y^2},$ o, como un vector,

\vec{a} (X, y) = ⟨ \frac{GRAMO METRO}{X^{2} + y^{2}} porque θ, \frac{GRAMO METRO}{X^{2} + y^{2}} pecado θ ⟩

$\overrightarrow{a}(x,y)= \left\langle \frac{GM}{x^2+y^2}\cos\theta, \frac{GM}{x^2+y^2}\sin\theta\right\rangle$

= ⟨ \frac{GRAMO METRO}{X^{2} + y^{2}} \frac{X}{\sqrt{X^{2} + y^{2}}}, \frac{GRAMO METRO}{X^{2} + y^{2}} \frac{y}{\sqrt{X^{2} + y^{2}}} ⟩

$= \left\langle \frac{GM}{x^2+y^2}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \frac{GM}{x^2+y^2}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right\rangle$

= ⟨ \frac{GRAMO METRO X}{(X^{2} + y^{2})^{3 / 2}}, \frac{GRAMO METRO y}{(X^{2} + y^{2})^{3 / 2}} ⟩

$= \left\langle \frac{GMx}{(x^2+y^2)^{3/2}}, \frac{GMy}{(x^2+y^2)^{3/2}}\right\rangle$

Entonces, aquí es donde estoy atascado. Puedo integrar con respecto a la distancia y obtener

W (X, y) = ⟨ - \frac{GRAMO METRO}{\sqrt{X^{2} + y^{2}}}, - \frac{GRAMO METRO}{\sqrt{X^{2} + y^{2}}} ⟩

$W(x,y) = \left\langle -\frac{GM}{\sqrt{x^2+y^2}}, -\frac{GM}{\sqrt {x^2+y^2}}\right\rangle$

que creo que es un vector cuya magnitud es el trabajo realizado, pero eso no me dice nada sobre el tiempo. Puedo integrar con respecto al tiempo, pero eso daría

F (X, y) = ⟨ \frac{GRAMO METRO X}{(X^{2} + y^{2})^{3 / 2}} t, \frac{GRAMO METRO y}{(X^{2} + y^{2})^{3 / 2}} t ⟩

$f(x,y)= \left\langle \frac{GMx}{(x^2+y^2)^{3/2}}t, \frac{GMy}{(x^2+y^2)^{3/2}}t\right\rangle$

lo cual... quiero decir, es ingenuo en el mejor de los casos. No tiene en cuenta el cambio de posición que se produce con el tiempo. Lo único que se me ocurre hacer es de alguna manera encontrar ecuaciones paramétricas donde $x$ y $y$ son funciones de $t$ , pero eso es básicamente lo que estoy tratando de hacer de todos modos.

¿Algunas ideas? Quiero encontrar una ecuación tal que pueda poner una ubicación y velocidad y la ecuación me dirá qué camino tomará el objeto. ¿Es eso posible?

floris

La órbita de un objeto en un campo gravitacional es una "cónica". Es decir, puede ser una elipse (órbita cerrada), una parábola o una hipérbola (dependiendo de las condiciones iniciales del movimiento). Definitivamente es posible. Google "ecuación de vis viva" para obtener más ayuda.

una mente curiosa

Bueno, toma tu fuerza gravitacional

F (\vec{r})

$F(\vec r)$ y resolver la ecuacion diferencial

F (\vec{r}) = m \ddot{\vec{r}}

$F(\vec r) = m \ddot{\vec r}$ . Realmente no hay nada más para encontrar trayectorias en la mecánica newtoniana, excepto el desafío computacional de resolver la ecuación.

Zacarías F.

Entonces, r⃗ en este caso sería GM/r^2?

floris

@ZacharyF - no,

\ddot{\vec{r}} = \frac{G M \vec{r}}{r^{3}}

$\ddot{\vec{r}} = \frac{GM\vec{r}}{r^3}$

Zacarías F.

De donde viene eso?

Respuestas (4)

¿Cómo introduzco correctamente el tiempo en esta ecuación?

La órbita de un objeto en un campo gravitacional es una "cónica". Es decir, puede ser una elipse (órbita cerrada), una parábola o una hipérbola (dependiendo de las condiciones iniciales del movimiento). Definitivamente es posible. Google "ecuación de vis viva" para obtener más ayuda.
Bueno, toma tu fuerza gravitacional $F(\vec r)$ y resolver la ecuacion diferencial $F(\vec r) = m \ddot{\vec r}$ . Realmente no hay nada más para encontrar trayectorias en la mecánica newtoniana, excepto el desafío computacional de resolver la ecuación.

alfredo centauro · Answer 1

pero si me puedes dar una pista sería genial.

Dado que la fuerza depende únicamente de la distancia radial y apunta hacia el origen, el momento angular (supuesto que apunta a lo largo de la $z$ eje) se conserva. Esto sugiere que las coordenadas apropiadas son las coordenadas polares esféricas $(r, \phi)$ dónde

X = r porque ϕ

$x = r \cos \phi$

y = r pecado ϕ

$y = r \sin \phi$

En estas coordenadas, el momento angular es

yo = metro r^{2} \dot{ϕ} = C o norte s t a norte t

$l = mr^2\dot \phi = \mathrm{constant}$

La ecuación radial del movimiento es

metro \ddot{r} = metro r {\dot{ϕ}}^{2} - \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}}

$m\ddot r = mr\dot \phi^2 - \frac{GMm}{r^2}$

¿Puedes tomarlo desde aquí?

kyle kanos · Answer 2

Puedo integrar con respecto al tiempo, pero eso daría
$F (X, y) = ⟨ \frac{GRAMO METRO X}{(X^{2} + y^{2})^{3 / 2}} t, \frac{GRAMO METRO y}{(X^{2} + y^{2})^{3 / 2}} t ⟩$ $f(x,y)= \left\langle \frac{GMx}{(x^2+y^2)^{3/2}}t, \frac{GMy}{(x^2+y^2)^{3/2}}t\right\rangle$

No, no porque ambos $x$ y $y$ son funciones de tiempo, por lo que no puede utilizar este método de "integración simple". Lo que tienes que hacer es volver a la ecuación diferencial,

\begin{matrix} (1) & metro \ddot{r} = - \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}} \hat{r}, \end{matrix}

$m\ddot{\mathbf r}=-\frac{GMm}{r^2}\hat{\mathbf r},\tag{1}$ y resolverlo por

r (t)

$r(t)$ . Aquí estamos usando una notación que significa

\ddot{z} = d^{2} z / d t^{2}

$\ddot{z}=d^2z/dt^2$ y

\dot{z} = d z / d t

$\dot z=dz/dt$ para alguna función genérica

z

$z$ . Cuando se usan vectores en coordenadas no cartesianas (p. ej., coordenadas cilíndricas ), se vuelve un poco más complicado ya que los vectores unitarios varían en el tiempo. Resolver (1) requerirá conocer algunos trucos (p. ej., multiplicar ambos lados por

\dot{r}

$\dot{r}$ y luego integrando con respecto al tiempo), pero se puede hacer.

Sugiero resolver esto en una dirección antes de intentarlo primero en dos dimensiones (por ejemplo, en el $r$ dirección antes de la $x,\,y$ direcciones). Resolverlo de esta manera le mostrará el método (que es un poco complicado), hacerlo con la segunda dimensión será un poco más sencillo (ya que tiene la experiencia), pero también es bastante complicado.

Tenga en cuenta también que el lado derecho de (1) es la definición de $\mathbf g$ , la aceleración gravitacional:

gramo = - \frac{GRAMO METRO}{r^{2}} \hat{r} .

$\mathbf g=-\frac{GM}{r^2}\hat{\mathbf r}.$ Entonces (1) es realmente

m a \equiv m \ddot{r} \equiv F = m g

$m\mathbf a\equiv m\ddot{\mathbf r}\equiv\mathbf F=m\mathbf g$ .

Algunos pequeños problemas aquí. Este enfoque funcionará si el movimiento es unidimensional, es decir, el objeto se mueve en línea recta. Incluso entonces necesitas un signo menos. Mejor (quizás): $\ddot{\vec{r}} = -\left(GMm/|\vec{r}|^2\right)\hat{r}$ . En cualquier caso, este es un problema difícil para un novato.
@garyp: ¡Uy! Descuidé el signo menos. Creo que resolverlo primero en 1D es un mejor enfoque que hacerlo directamente en 2D (como sugiere Timeo).
Acordado. El OP tendría que tener cuidado de notar que $r$ es simplemente una distancia o coordenada a pesar de que solemos usar la variable " $r$ " en dos o tres dimensiones ... sin ángulos, sin vectores en absoluto en una dimensión.
Buena edición. Le advertiría a Zachary que el problema bidimensional es más del doble de difícil que el problema unidimensional. En mi opinión.
$m\ddot{\mathbf r}=-\frac{GMm}{r^2}\hat{\mathbf r}$ es bueno, pero $\ddot{r}=d^2r/dt^2$ y $\dot r=dr/dt$ (sin los vectores) es problemático. En un círculo $r(t)=const$ , pero la aceleración es radialmente hacia adentro, distinta de cero. Así que no quieres confundir $\ddot{\mathbf r}=d^2\mathbf r/dt^2$ y $\ddot{r}=d^2r/dt^2$ .
facepalm ¡Cierto! Olvidé que x e y son funciones de t. Como dije, ingenuo en el mejor de los casos.
@Timaeus: Principalmente quería especificar el orden derivado del tiempo, no la ecuación vectorial particular. Actualizaré en consecuencia.

timeo · Answer 3

Tienes la aceleración, que es una derivada temporal de la velocidad. Integrar la aceleración con respecto a la distancia no produce un vector de trabajo. Puedes encontrar la energía potencial $U(x,y)=GMm/r$ que tiene la propiedad de que su gradiente es el campo de fuerza. Pero la energía potencial es un escalar, no un vector.

Tu integral con respecto al tiempo no es correcta, $x=x(t)$ y $y=y(t)$ no son constantes en el tiempo, y los trataste como si lo fueran.

Si has estudiado cálculo multivariable pero aún no has estudiado ecuaciones diferenciales, entonces estudia ecuaciones diferenciales.

Además, comience primero con el movimiento en una dimensión (es decir, haga un problema 1d), solo porque es más fácil. Después de que puedas hacer eso fácilmente, ve a dimensiones más altas.

usuario12029 · Answer 4

Desafortunadamente, ¡el cálculo multivariable no es suficiente! Su objetivo es resolver un sistema no lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias, y ese es un objetivo elevado.

De todos modos, hay soluciones para esto. Vea un ejemplo de una implementación (descargo de responsabilidad: es mío) aquí: http://mathandcode.com/kepler/

Las referencias más útiles que encontré fueron los libros Mathematical Methods of Classical Mechanics de Arnold, Mechanics de Landau y Lifshitz, y Classical Mechanics de Goldstein. Cada uno de ellos tiene una solución a este problema, llamado "el problema de Kepler". El esquema de la solución es algo como esto:

Pasar de una ecuación diferencial en dos variables $(x(t),y(t))$ a una ecuación diferencial en $r=\sqrt{x^2+y^2}$ utilizando únicamente el concepto de un "Potencial Efectivo".
"Resuelve" esta ecuación diferencial abusando de la conservación del momento angular (con lo que sabes $\dot{\varphi}$ ), conservación de la energía (con la que se puede encontrar la cantidad $\dot{r}^2+r^2 \dot{\varphi}^2$ ), y haciendo un cambio inteligente de variables para que encuentres $r$ como una función de $\varphi$ en lugar de como una función del tiempo.
Reemplaza la ecuación para $r(\varphi)$ (que resulta ser la ecuación de una elipse - de la forma $\frac{p}{1+e \cos \varphi}$ para constantes $p$ y $e$ llamado parámetro y excentricidad respectivamente) en la definición de momento angular, que establece $r^2 \dot{\varphi}$ se conserva y por lo tanto te da $\dot{\varphi}$
Usa el truco de la separación de variables (¡que es el truco ODE más fácil!) para encontrar $\varphi(t)$ en términos de una integral. QUIZÁS entonces esta integral se puede evaluar en términos de funciones especiales.

Si todo esto te parece griego, mi consejo es que elijas un libro sobre mecánica (Mis favoritos son Métodos matemáticos de la mecánica clásica de Arnold, complementado con El mínimo teórico [no cuántico] de Sussking y Hrabovsky).

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