Fuerza gravitacional al pararse sobre un disco infinito

Si el disco tiene un diámetro infinito, no es más que un plano infinito. Para cualquier espesor finito podemos considerar una capa de masa cuya densidad superficial es$\sigma$. Además, si el plano es infinito, no importa si estás a un metro o a un kilómetro del plano. Mires donde mires el avión, verás la misma estructura. Entonces, el campo gravitatorio no puede depender de la distancia desde el avión. Debe ser uniforme y sus líneas deben ser perpendiculares al plano.

Aplicando la Ley de Gauss para una superficie Gaussiana cilíndrica cuyo eje de simetría es perpendicular al plano se obtiene

$$\oint \vec g\cdot \mathrm d\vec A=2Ag=-4\pi G m,$$ dónde $A$es la base/área superior del cilindro y $m$es la masa en su interior. Por lo tanto, el campo gravitacional dice $$g=-\frac{2\pi Gm}{A}=-2\pi G\sigma,$$ y esta es una cantidad finita.

Editar: simplemente ingresando algunos números para ver qué obtenemos. La constante gravitacional es$G=6.67\times 10^{-11}\, ~\mathrm{Nm^2/kg}.$Si la capa de masa es$d$metros de espesor y hecho de un material con la misma densidad de masa media de la Tierra ($\rho=5.5\cdot 10^3\, ~\mathrm{kg/m^3}$) dará

$$\sigma=\frac{5.5\cdot 10^3\cdot d\cdot A}{A}=5.5\cdot 10^3\cdot d\,~\mathrm{kg/m^2}.$$ Por lo tanto, la magnitud de la gravedad calculada arriba es $$g=2.3\cdot 10^{-6}\cdot d\, ~\mathrm{m/s^2}.$$ para dar $9.8\, ~\mathrm{m/s^2}$el disco tendria que ser $4.3\cdot 10^3$kilómetros de espesor. Tenga en cuenta que el diámetro de la Tierra es de aproximadamente $12\times 10^3$kilómetros.

Puede hacer la integral y descubrirá que la respuesta es "finita", porque no solo aumenta la distancia a la masa, sino también el ángulo.

Considere un anillo a distancia radial$r$: si tienes masa por área$\sigma$, la masa total a esa distancia es$2\pi r \sigma$; si la distancia vertical al centro del disco es$h$, la componente vertical de la fuerza es como$\frac{F\cdot h}{r}$.

Los dejo con esta pista. Mira si puedes escribir la integral desde aquí. Encontrarás que depende de$h$y$\sigma$solamente. Este es el mismo resultado (y el mismo análisis) que obtendría para demostrar que el campo eléctrico frente a un plano uniformemente cargado es finito (con ecuaciones de aspecto muy similar).

Como la pregunta es finito versus infinito, supongo que no necesitamos el resultado exacto para un disco finito (aunque no es difícil de calcular).

La respuesta simple e intuitiva es que, aunque la masa del disco sea infinita, la mayoría de las fuerzas de los bits del disco que van hacia el infinito se cancelarán debido a la simetría, por lo que la respuesta es finita.

Supongamos que somos una altura$h$por encima del disco. Supongamos que$R$es un número mucho mayor que$h$. Supongamos ahora que dividimos la fuerza en dos partes: la parte 1 es la fuerza de un disco muy grande con radio$R$, y la pieza 2 es la fuerza del resto del disco que va desde R hasta el infinito. La fuerza del disco muy grande es claramente finita ya que hay una masa finita. La fuerza del resto del disco ahora es más fácil de calcular ya que$R$es mucho más grande que$h$. Entonces, la pregunta es si la fuerza de la masa restante da como resultado una fuerza finita o infinita.

Si imaginamos un anillo (anillo delgado) con una profundidad de 1 metro (como el disco), radio$r$(mayor que$R$) y espesor$dr$(un infinitesimal) entonces podemos calcular la fuerza gravitacional de este anillo. Como se mencionó anteriormente, un efecto muy importante es que habrá mucha cancelación: los bits del extremo norte del anillo cancelarán principalmente los bits del extremo sur, por ejemplo. La parte que sobrevive es únicamente la componente vertical de la fuerza. Entonces la componente vertical de la fuerza introducirá un factor de$h/r$(cuando$r$es mucho más grande que$h$).

El componente vertical de la fuerza gravitacional del anillo se ve así (usando la ley del inverso del cuadrado y observando que la masa es densidad por volumen):

$$dF = \mathrm{constant} \cdot r \cdot \frac{dr}{r^2}\cdot\frac{h}{r},$$

o

$$dF = \mathrm{constant}\cdot\frac{dr}{r^2}.$$

La integración de todos estos anillos hasta el infinito conduce a un resultado finito como la integral de un número finito al infinito de$1/r^2$es finito