Derivación de la expresión posnewtoniana (PN) para la aceleración en la geometría de Schwarzschild

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Derivación de la expresión posnewtoniana (PN) para la aceleración en la geometría de Schwarzschild

gravedad
Física
posnewtoniano
relatividad general
teoría de la perturbación
recomendaciones de recursos

Rumplestillskin

La expresión para la aceleración de un satélite cercano a la Tierra tal como se presenta en la nota técnica del IERS viene dada por

\begin{matrix} (1) & \frac{d^{2} r}{d t^{2}} = \frac{GRAMO {METRO}_{mi}}{C^{2} r^{3}} {[2 (β + γ) \frac{GRAMO {METRO}_{mi}}{r} - γ \dot{r} \cdot \dot{r}] r + 2 (1 + γ) (r \cdot \dot{r}) \dot{r}} . \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq:problemeq} \tag{1} \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \frac{GM_E}{c^2r^3} \left\{\left[2(\beta+\gamma)\frac{GM_E}{r} - \gamma \dot{\mathbf{r}} \cdot \dot{\mathbf{r}} \right] \mathbf{r} + 2(1+\gamma)(\mathbf{r}\cdot\dot{\mathbf{r}})\dot{\mathbf{r}} \right\}. \end{equation}$

Estamos trabajando en el formalismo post-newtoniano parametrizado, de ahí las constantes adimensionales $\beta,\gamma$ .

Por lo que puedo deducir de aquí y aquí, esta expresión se puede derivar de la "métrica de masa puntual isotrópica de un cuerpo de Schwarzschild".

Ahora, sé cómo se ve la métrica de Schwarzschild en coordenadas isotrópicas, pero no puedo ver dónde está la ecuación. ( $\ref{eq:problemeq}$ ) viene de.

Otro punto a destacar es que en GR los parámetros adimensionales $\beta,\gamma$ son iguales a la unidad y cuando se sustituyen arriba dan una fórmula bien conocida para la precesión de Schwarzschild que está dada por

\begin{matrix} (1) & \frac{d^{2} r}{d t^{2}} = \frac{GRAMO {METRO}_{mi}}{C^{2} r^{3}} {[4 \frac{GRAMO {METRO}_{mi}}{r} - \dot{r} \cdot \dot{r}] r + 4 (r \cdot \dot{r}) \dot{r}} . \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq:problemeq2} \tag{1} \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \frac{GM_E}{c^2r^3} \left\{\left[4\frac{GM_E}{r} - \dot{\mathbf{r}} \cdot \dot{\mathbf{r}} \right] \mathbf{r} + 4(\mathbf{r}\cdot\dot{\mathbf{r}})\dot{\mathbf{r}} \right\}. \end{equation}$

Nuevamente, tampoco recuerdo esto.

¿Alguna sugerencia?

N0va

La derivación de esa expresión parece bastante complicada. Revisé las diversas referencias en la Nota técnica n.º 36 del IERS y las Resoluciones B1.3 y B1.4 (2000) de la AU y el mejor punto de partida que pude encontrar es [Klioner 2001; arxiv.org/abs/astro-ph/0107457] eq. (3) y sus referencias [Will 1993] y [Klioner & Soffel 2000; arxiv.org/abs/gr-qc/9906123] .

Rumplestillskin

Definitivamente es bastante complicado. No espero que se haga de una sola vez :) A la caza de algunos recursos que se puedan entender. ¡Encuentro a los chicos de PN de la vieja escuela bastante difíciles de seguir!

Mihai B.

El eq de movimiento para su caso es

\frac{d^{2} x^{σ}}{d s^{2}} = Γ_{μ ν}^{σ} \frac{d x^{μ}}{d s} \frac{d x^{ν}}{d s}

$\frac{d^2x^\sigma}{ds^2} = \Gamma^\sigma_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx^\nu}{ds}$ . Simplemente conecte el tensor métrico de Schwarzschild

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ en

Γ_{μ ν}^{σ} = 1 / 2 g^{σ α} (\frac{\partial g_{μ α}}{\partial x_{ν}} + \frac{\partial g_{ν α}}{\partial x_{μ}} - \frac{\partial g_{μ ν}}{\partial x_{α}})

$\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu} = 1/2 g^{\sigma\alpha}( \frac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x_\nu} + \frac{\partial g_{\nu\alpha}}{\partial x_\mu} -\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_\alpha})$ y hacer los cálculos en el ecualizador de movimiento. Este es, supongo, el enfoque más simple.

Rumplestillskin

@MihaiB. Desafortunadamente esto no funcionaría. Eso es lo que harías en un marco completamente relativista. Sin embargo, esto se expresa en términos del formalismo PPN.

david hamen

Eso es muy similar a la forma utilizada en Yeomans, DK, et al. "Determinación de la órbita del cometa y fuerzas no gravitacionales". Comets II (2004): 137-151, que hace referencia a Anderson JD, et al. "Prueba experimental de la relatividad general utilizando datos de retardo de tiempo de Mariner 6 y Mariner 7". Astrofias. J., 200, 221–233. La única diferencia es el uso de la constante gravitacional de Gauss

k

$k$ en lugar de

G M_{E}

$GM_E$

steveow

¿ En qué parte de la Nota técnica de IERTS aparece su eqtn(1)? Su ecuación (10.12) en la página 155 parece similar pero tiene términos adicionales.

Respuestas (1)

Derivación de la expresión posnewtoniana (PN) para la aceleración en la geometría de Schwarzschild

La derivación de esa expresión parece bastante complicada. Revisé las diversas referencias en la Nota técnica n.º 36 del IERS y las Resoluciones B1.3 y B1.4 (2000) de la AU y el mejor punto de partida que pude encontrar es [Klioner 2001; arxiv.org/abs/astro-ph/0107457] eq. (3) y sus referencias [Will 1993] y [Klioner & Soffel 2000; arxiv.org/abs/gr-qc/9906123] .
Definitivamente es bastante complicado. No espero que se haga de una sola vez :) A la caza de algunos recursos que se puedan entender. ¡Encuentro a los chicos de PN de la vieja escuela bastante difíciles de seguir!
El eq de movimiento para su caso es $\frac{d^2x^\sigma}{ds^2} = \Gamma^\sigma_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx^\nu}{ds}$ . Simplemente conecte el tensor métrico de Schwarzschild $g_{\mu\nu}$ en $\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu} = 1/2 g^{\sigma\alpha}( \frac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x_\nu} + \frac{\partial g_{\nu\alpha}}{\partial x_\mu} -\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_\alpha})$ y hacer los cálculos en el ecualizador de movimiento. Este es, supongo, el enfoque más simple.
@MihaiB. Desafortunadamente esto no funcionaría. Eso es lo que harías en un marco completamente relativista. Sin embargo, esto se expresa en términos del formalismo PPN.
Eso es muy similar a la forma utilizada en Yeomans, DK, et al. "Determinación de la órbita del cometa y fuerzas no gravitacionales". Comets II (2004): 137-151, que hace referencia a Anderson JD, et al. "Prueba experimental de la relatividad general utilizando datos de retardo de tiempo de Mariner 6 y Mariner 7". Astrofias. J., 200, 221–233. La única diferencia es el uso de la constante gravitacional de Gauss $k$ en lugar de $GM_E$
¿ En qué parte de la Nota técnica de IERTS aparece su eqtn(1)? Su ecuación (10.12) en la página 155 parece similar pero tiene términos adicionales.

Agerhell · Answer 1

Veo que te refieres a mi documento anterior. Bueno, en mi artículo me refería a la otra de sus dos referencias, el libro del JPL. Hay una expresión numerada 4-26 en la página 4-19 de ese libro que se reduce a la expresión que escribiste anteriormente en el caso de una gran masa estática y un pequeño "cuerpo de prueba". La derivación de la expresión 4-26 se proporciona en la página 4-22 a la página 4-24 en el mismo libro por el Laboratorio de Propulsión a Chorro. La derivación está un poco más allá de mí, debo decir, pero aún así.

https://descanso.jpl.nasa.gov/monograph/series2/Descanso2_all.pdf

Editar Solo quería agregar, en caso de que alguien llegue aquí buscando una expresión, que la expresión anterior solo funciona bien en el límite de campo débil. Como se ve, se aproxima a GR introduciendo dos términos dependientes de la velocidad y un término repulsivo del cubo inverso. Esto no funciona bien en el régimen de campo fuerte. A medida que el término repulsivo se vuelve más fuerte a medida que te acercas al agujero negro, se producirá un "rebote". En las simulaciones a continuación, el círculo verde representa el radio de Schwarzschild y el círculo rojo el radio del "radio circular estable más interno". Como se ve en esta publicación , la expansión posnewtoniana también está disponible en el nivel 3PN, incluidos más términos. Tal vez esa expresión funcione mejor en campos más fuertes.

Agradezco la respuesta y la información. Lo descubrí hace bastante tiempo ;)

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