Linealización de la gravedad a O(h3)O(h3){\cal O}(h^3)

Question

Linealización de la gravedad a O(h3)O(h3){\cal O}(h^3)

Física
teoría linealizada
relatividad general
teoría de la perturbación
recomendaciones de recursos

prahar

He visto la acción de la gravedad linealizada en muchos lugares. básicamente tenemos

L \sim \frac{1}{{GRAMO}_{norte}} (- \frac{1}{2} h^{α β} ◻ h_{α β} + \frac{1}{4} h ◻ h + O (h^{3}))

${\cal L} ~\sim~ \frac{1}{G_N}\left( - \frac{1}{2}h^{\alpha\beta} \Box h_{\alpha\beta} + \frac{1}{4} h \Box h + {\cal O}(h^3)\right)$

en el calibre donde el campo de traza invertida no tiene divergencias. Estoy haciendo un poco de teoría de campo, en fondos de gravedad linealizados al tratar $h_{\mu\nu}$ como un campo de spin-2 sin masa. Parece que no puedo encontrar el ${\cal O}(h^3)$ términos en el lagrangiano en cualquier lugar. Sé cómo evaluarlo, pero parece desagradable.

¿Hay alguna referencia conocida que solo enumere los siguientes términos de orden principal en el Lagrangiano anterior?

Bruno Le Floch

Nota para los lectores: cuando la métrica de fondo es una solución de vacío general de las ecuaciones de Einstein, hay un término adicional de la forma

R_{α β γ δ} h^{α γ} h^{β δ}

$R_{\alpha\beta\gamma\delta}h^{\alpha\gamma}h^{\beta\delta}$ dónde

R_{α β γ δ}

$R_{\alpha\beta\gamma\delta}$ es la curvatura de Riemann de la métrica de fondo.

Respuestas (2)

Linealización de la gravedad a O(h3)O(h3){\cal O}(h^3)

Nota para los lectores: cuando la métrica de fondo es una solución de vacío general de las ecuaciones de Einstein, hay un término adicional de la forma $R_{\alpha\beta\gamma\delta}h^{\alpha\gamma}h^{\beta\delta}$ dónde $R_{\alpha\beta\gamma\delta}$ es la curvatura de Riemann de la métrica de fondo.

Sandro Vitenti · Answer 1

Sandro Vitenti

La mayoría de las dificultades de estos cálculos provienen del hecho de que las personas escriben el Lagrangiano directamente en términos de la perturbación métrica $h_{\mu\nu}$ .

Es mucho más sencillo escribirlo en términos del tensor de diferencia de conexiones $F_{\mu\nu}{}^\beta$ , es decir,

(\nabla_{m} - {\bar{\nabla}}_{m}) A_{v} = F_{m v}^{β} A_{β},

$(\nabla_\mu-\bar{\nabla}_\mu)A_\nu = \mathcal{F}_{\mu\nu}{}^\beta{}A_\beta,$ dónde

\nabla_{μ}

$\nabla_\mu$ es la conexión compatible con la métrica completa (

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ ) y

{\bar{\nabla}}_{μ}

$\bar{\nabla}_\mu$ compatible con la métrica de fondo (

{\bar{g}}_{μ ν}

$\bar{g}_{\mu\nu}$ en su caso Minkowski). El escalar de curvatura es naturalmente cuadrático en

F_{μ ν}^{β}

$\mathcal{F}_{\mu\nu}{}^\beta$ , por lo tanto, los términos de orden superior provienen de la expansión de

\sqrt{- g}

$\sqrt{-g}$ y

δ g^{μ ν}

$\delta{}g^{\mu\nu}$ en términos de la diferencia métrica

ξ_{μ ν} = g_{μ ν} - {\bar{g}}_{μ ν}

$\xi_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} - \bar{g}_{\mu\nu}$ . Con este método no es necesario elegir un calibre a priori .

En nuestro artículo http://arxiv.org/abs/1206.4374 desarrollamos el Lagrangiano y el Hamiltoniano hasta segundo orden utilizando la metodología descrita anteriormente. Además, escribimos la acción en términos de las cantidades cinéticas definidas en la foliación geodésica del espacio-tiempo. Utilizando los resultados de este artículo, es fácil generalizar (en el contexto de Minkowski) el Lagrangiano a órdenes superiores.

acechador

¡muy interesante! +1

prahar

¡Nunca he visto esto antes! ¡Muy interesante! Lo miraré. ¡Gracias! +1

NormalesNo Lejos

Escribes la métrica completa como

g_{m n} = {\bar{g}}_{m n} + ξ_{m n}

$g_{mn}=\bar{g}_{mn}+\xi_{mn}$ , y proceda a expandir sus objetos geométricos a orden cuadrático. Pero si se está expandiendo al orden cuadrático, ¿no debería escribir

g_{m n} = {\bar{g}}_{m n} + ξ_{m n} + ξ_{m}^{p} ξ_{p n}

$g_{mn}=\bar{g}_{mn}+\xi_{mn}+\xi_{m}^{p}\xi_{pn}$ (con contracciones realizadas por métrica de fondo)?

NormalesNo Lejos

Pregunto porque también estoy tratando de expandir los objetos geométricos al orden cuadrático, pero en cambio en el formalismo de vielbein. Pero para permitir que el vielbein sea invertible, debo incluir términos de segundo orden en su expansión, es decir, debo escribir

e_{m}^{a} = F_{a}^{b} {\bar{e}}_{m}^{a}

$e_m{}^{a}=F_{a}{}^{b}\bar{e}_m{}^{a}$ y

e_{a}^{m} = F^{- 1}_{a}^{b} {\bar{e}}_{m}^{a}

$e_a{}^{m}=F^{-1}{}_{a}{}^{b}\bar{e}_m{}^{a}$ dónde

F_{a}^{b} = d_{a}^{b} + ξ_{a}^{b} + \frac{1}{2} ξ_{a}^{C} ξ_{C}^{b}, F^{- 1}_{a}^{b} = d_{a}^{b} - ξ_{a}^{b} + \frac{1}{2} ξ_{a}^{C} ξ_{C}^{b} .

$F_{a}{}^{b}=\delta_a{}^{b}+\xi_a{}^{b}+\frac{1}{2}\xi_{a}{}^{c}\xi_{c}{}^{b}~,~~~~~~F^{-1}{}_{a}{}^{b}=\delta_a{}^{b}-\xi_a{}^{b}+\frac{1}{2}\xi_{a}{}^{c}\xi_{c}{}^{b}~.$

NormalesNo Lejos

Si traduzco esto de nuevo al formalismo métrico, obtengo

{gramo}_{metro norte} = {\bar{gramo}}_{metro norte} + ξ_{metro norte} + ξ_{metro}^{pag} ξ_{pag norte}

$g_{mn}=\bar{g}_{mn}+\xi_{mn}+\xi_{m}{}^{p}\xi_{pn}$ hasta algunos coeficientes.

NormalesNo Lejos

En el segundo comentario debe decir

e_{m}^{a} = F_{b}^{a} {\bar{e}}_{m}^{b}

$e_m{}^{a}=F_{b}{}^{a}\bar{e}_m{}^{b}$ y

e_{a}^{m} = F^{- 1}_{a}^{b} {\bar{e}}_{b}^{m}

$e_a{}^{m}=F^{-1}{}_{a}{}^{b}\bar{e}_b{}^{m}$

Sandro Vitenti

@NormalsNotFar No necesita hacer ninguna suposición perturbadora inicialmente, solo puede usar

ξ_{μ ν}

$\xi_{\mu\nu}$ como una cantidad exacta y reescribe tu acción en términos de

{\bar{g}}_{μ ν}

$\bar{g}_{\mu\nu}$ y

ξ_{μ ν}

$\xi_{\mu\nu}$ . Una vez hecho esto, puede expandir todo, y en este caso debe escribir

ξ_{μ ν} = ξ_{μ ν}^{(1)} + ξ_{μ ν}^{(2)} + \dots

$\xi_{\mu\nu} = \xi^{(1)}_{\mu\nu} + \xi^{(2)}_{\mu\nu} + \dots$ .

tinta de error · Answer 2

Creo que los primeros artículos en los que esto se escribió fueron los de DeWitt. Pero para una referencia fácilmente disponible a través de arXiv, consulte hep-th/9411092 . Eq (2.17) tiene la expansión que desea y eq. (2.18) incluso lo tiene a cuarto orden en $h$ .

¡¡Muchas gracias!! Esto era exactamente lo que estaba buscando.

Linealización de la gravedad a O(h3)O(h3){\cal O}(h^3)

prahar

Bruno Le Floch

Respuestas (2)

Sandro Vitenti

acechador

prahar

NormalesNo Lejos

NormalesNo Lejos

NormalesNo Lejos

NormalesNo Lejos

Sandro Vitenti

tinta de error

prahar

Expansiones de orden superior de un sistema acoplado gravitacionalmente al perturbar la métrica

Derivación de la expresión posnewtoniana (PN) para la aceleración en la geometría de Schwarzschild

Referencias para la teoría de la perturbación cosmológica en el formalismo ADM [cerrado]

Positividad de la Energía Gravitacional Total en GR

¿Dónde puedo encontrar el artículo de Einstein sobre la relatividad desde el principio hasta el final?

¿Qué diferentes aproximaciones producen el gravitoelectromagnetismo y las ecuaciones de Einstein de campo débil?

Detalles de la predicción newtoniana para la precesión de Mercurio

Teoría de la perturbación degenerada de segundo orden

Tensor de curvatura de Riemann en la teoría de perturbaciones de primer orden como una derivada de Lie del tensor de curvatura de Riemann en orden cero [cerrado]

Tratamiento moderno de QFT efectivo en espacio-tiempo curvo