Acoplamiento de fermiones con gravedad

No hay necesidad de involucrar torsión en el acoplamiento de fermiones a la gravedad. En el formalismo de vierbein, hay una conexión de espín compatible con la métrica, sin torsión y bien definida en cualquier parche de coordenadas. Solo usa esa conexión en la acción de Dirac.

Cuando haga esto, debe recordar que al variar el vierbein en el funcional de acción, debe variar simultáneamente la conexión de espín.$\omega_{ij\mu}$para preservar la condición libre de torsión. Esto requiere

$$(\delta \omega_{ij\mu}) e^\mu_k =-\frac 12\left\{(\nabla_j \delta e_{ik} - \nabla_k \delta e_{ij}) +( \nabla_k \delta e_{ji}- \nabla_i \delta e_{jk}) -( \nabla_i \delta e_{kj}-\nabla_j \delta e_{ki})\right\},$$ dónde $$\delta e_{ij} \equiv {\bf e}_i\cdot \delta {\bf e}_j= \eta_{ib}[e^{*b}_\alpha \delta e_j^\alpha].$$

Al calcular el tensor de energía de estrés, esta variación de conexión de espín proporciona los términos adicionales que convierten el tensor de energía de estrés canónico pero no simétrico en el tensor de Belinfant-Rosen simétrico. Estos términos adicionales son la contribución al flujo de cantidad de energía de los gradientes en la densidad de espín.

Por supuesto, si lo desea, puede relajar la condición de estar libre de torsión y dejar$\omega_{ij\mu}$ser independiente del vierbein${\bf e}_i$. Esto conduce a la teoría de Einstein-Cartan. Personalmente, creo que EC es menos bonito que la gravedad pura de Einstein, pero EC es, sin embargo, una teoría física perfectamente viable porque la diferencia en las predicciones físicas entre ella y Einstein puro es muy pequeña. Lo que no es cierto es la afirmación que se ve a menudo de que Dirac requiere EC. No es asi.

Para obtener más detalles, consulte el artículo de Wikipedia sobre el tensor de Belinfante-Rosenfeld, y también el artículo clásico sobre anomalías gravitacionales de Ed Witten y Luis Alavarez-Gaume (Nucl. Phys. B234 (1984) 269).

Un espinor de Dirac acoplado a la gravedad (junto con Einstein-Hilbert) se describe mediante la acción ($c=1$, ($-,+,+,+$) firma métrica)

$$S=\int d^4x~\sqrt{-g}\left[ \frac{1}{16\pi G}R-\bar{\psi}(\gamma^\mu D_\mu+m)\psi \right]$$ dónde $G$- la constante de Newton, $R$- curvatura escalar , y $\sqrt{-g}\equiv\sqrt{-\det{g_{\mu\nu}}}=\det{e^a_\mu}$(si desea utilizar tétradas o métrica).

Conexión de giro ${\omega_\mu}^{ab}$entra por la derivada covariante

$$D_\mu\psi=\partial_\mu\psi+\frac{1}{4}{\omega_\mu}^{ab}\gamma_{ab}\psi~,$$ aquí $\gamma_{ab}\equiv\frac{1}{2}(\gamma_a\gamma_b-\gamma_b\gamma_a)$para matrices gamma. Si hay una torsión distinta de cero, puede separar la parte libre de torsión ${\tilde{\omega}_\mu}^{ab}$y contorsión ${K_\mu}^{ab}$: $${\omega_\mu}^{ab}={\tilde{\omega}_\mu}^{ab}+{K_\mu}^{ab}.$$ Si la torsión es cero, solo tienes ${\tilde{\omega}_\mu}^{ab}$.

Te dejaré variar la acción y encontrar ecuaciones de movimiento: Dirac y Einstein.

Editar: la conexión de giro es de hecho antisimétrica por definición.