Acerca del cálculo del diagrama de dos puntos irreducible de una partícula

Esto se deriva de la respuesta y los comentarios de esta pregunta de Phys.SE sobre el cálculo del diagrama irreducible de una partícula de dos puntos.

Por un lado, de acuerdo con la discusión en P.236 de Introducción a la teoría cuántica de campos de Peskin y Shroeder, el diagrama irreducible de una partícula de dos puntos truncado,$M^2(p^2)$, posee una parte imaginaria para una partícula inestable. Matemáticamente, esto corresponde al caso en el que dos líneas internas se conectan al caparazón simultáneamente, lo que se puede visualizar mediante un corte a través de los dos propagadores.

Sin embargo, por otro lado, según la ecuación (11.90) de la sección 11.6 de la P.381, el propagador inverso está relacionado con la segunda derivada funcional de la acción efectiva. La matriz formada por la derivada de segundo orden es manifiestamente simétrica. En el caso clásico, la segunda derivada del potencial está directamente relacionada con la masa de la partícula. Cuando uno considera las correcciones de las fluctuaciones cuánticas, el argumento es similar, según el libro de texto. En particular, si se toma$p=0$, el propagador inverso$p^2-m_0^2-M^2(p^2)$($=p^2-m^2$cuando se renormaliza correctamente) da$m^2$. Por lo tanto, en presencia de fluctuaciones cuánticas, la física es esencialmente la misma. Matemáticamente, uno puede asociar la segunda derivada funcional del potencial efectivo a la masa vestida de la partícula simplemente tomando$p=0$.

Ahora, la respuesta de Adam a la pregunta mencionada anteriormente parece probar que el potencial efectivo siempre es real a través de cálculos integrales de trayectoria con la rotación de Wick. Para ser específicos, cambiando el contorno de la integral$t$de$(-\infty\rightarrow+\infty)$a$(+i\infty\rightarrow -i\infty)$, se muestra que el exponente de la integral funcional de la ecuación (9.42) es definida positiva en el sentido de que$\mathcal{L}_E(\phi)$posee la forma de una energía que es real y limitada desde abajo. Por encima de la matriz definida positiva implica que su valor propio y, posteriormente, la masa vestida es siempre positivo, debido al álgebra lineal. Pero ahora tengo una contradicción, ya que la existencia de resonancia implica un polo en el plano complejo, y por lo tanto, si se sustituye$p=0$en el diagrama irreducible de una partícula de dos puntos truncado, se obtiene su masa, que no es real.

Entiendo que la rotación de Wick es esencialmente un truco para evaluar una integral de trayectoria eligiendo un contorno diferente para la coordenada de tiempo. Entonces, antes y después de la rotación de Wick,$Z$,$\Gamma(\phi_{cl})$(así como todas sus derivadas funcionales y sus formas correspondientes en el espacio de momentos) son los mismos funcionales. ¿Por qué aparentemente tienen diferentes estructuras de polos en el plano complejo de$p$? ¿Cómo estos dos enfoques pueden ser entendidos consistentemente?

Ediciones

1. Actualicé la pregunta anterior para aclarar mi duda de acuerdo con la respuesta de Adam a continuación.
2. Nótese que la afirmación de que$\mathcal{L}_E(\phi)$posee la forma de una energía, cuando se transforma en espacio de momento, implica el requisito de que los componentes de cuatro momentos sean reales,$p^2$así como el término de masa desnuda es positivo. Esto no se viola tomando$p=0$después.
3. Parte de mi malentendido radica en la afirmación incorrecta de que sustituir$p=0$en$\Gamma^{(2)}$da la masa, que no es consistente con la condición de renormalización. Para ser específico, la ecuación (11.17) da$\frac{d}{dp^2}(p^2-m_0^2-M^2(p^2))=0$o$1-\frac{dM^2}{dp^2}=0$en$p^2=m^2$. Por lo tanto a primer orden se tiene$p^2-m_0^2-M^2(p^2)=(p^2-m^2)\left(1-\frac{dM^2(p^2)}{dp^2}\right)$. sustituyendo$p=0$, el segundo término no es necesariamente real. Toda la expresión ser real implica tanto$m^2$y$\frac{dM^2(p^2)}{dp^2}$pueden estar en el plano complejo simultáneamente.