¿Es la abreviatura ∂μ∂μ \partial_{\mu} estrictamente una derivada parcial en la teoría de campos?

1. No, uno de los símbolos de derivadas parciales$\partial_{\mu}$en la ecuación de OP (2) no es correcta si se supone que significa derivadas parciales. Las ecuaciones correctas de Euler-Lagrange (EL) dicen

   $$\tag{2'} 0~\approx~\frac{\delta S}{\delta \phi^{\alpha}} ~=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi^{\alpha}} - \sum_{\mu} \color{Red}{\frac{ d}{dx^{\mu}}} \frac{\partial {\cal L}}{\partial (\partial_{\mu}\phi^{\alpha})} + \ldots,$$ donde el$\approx$símbolo significa igualdad módulo eoms, y los puntos suspensivos$\ldots$denota posibles términos derivados superiores. Aquí $$\color{Red}{\frac{ d}{dx^{\mu}}}~=~ \frac{\partial }{\partial x^{\mu}} +\sum_{\alpha}(\partial_{\mu}\phi^{\alpha})\frac{\partial }{\partial \phi^{\alpha}} + \sum_{\alpha, \nu} (\partial_{\mu}\partial_{\nu}\phi^{\alpha})\frac{\partial }{\partial (\partial_{\nu}\phi^{\alpha})} + \ldots$$ es el$\color{Red}{\text{total spacetime derivative}}$en lugar de una derivada parcial del espacio-tiempo. Consulte también esta y estas publicaciones relacionadas con Phys.SE.

2. Mencionemos para completar que la otra aparición del símbolo de derivada parcial$\partial_{\mu}$en la ecuación de OP (2) es correcta. Puede ser reemplazado por una derivada del espacio-tiempo total.$\color{Red}{d_{\mu}}$, desde$\partial_{\mu}\phi\equiv\color{Red}{d_{\mu}}\phi$por definición, cf. ecuación de OP (3).

Primero, asegurémonos de que entendemos la noción de la derivada total en el caso de las partículas: el Lagrangiano en sí mismo es una función de valor real$L(q,\dot{q},t)$, dónde$q$y$\dot{q}$se tratan como variables independientes , cf. esta pregunta o esta respuesta mía . Cuando hablamos de una derivada "total" en el contexto de las ecuaciones de Euler-Lagrangian, en realidad queremos decir que tomamos un camino$q(t)$, calcule su derivada en el tiempo$\dot{q}(t)$, entonces considere la función$L(q(t),\dot{q}(t),t)$, cuyo único argumento libre es ahora$t$, y luego tome la derivada wrt$t$. Hablar de derivada "total" o "parcial" es una forma manual de distinguir entre el Lagrangiano como una función de variables independientes$q,\dot{q},t$(este es un caso parcial) y el Lagrangiano en función del tiempo después de que se haya conectado una ruta dependiente del tiempo (este es el caso "total"). Entonces, la expresión$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$significa: Tomar el Lagrangiano como una función de$q,\dot{q},t$, diferenciar con respecto a$\dot{q}$, luego conecta una ruta$q(t)$en la función resultante, luego diferencie con respecto a$t$.

Entonces, en el caso de campo, tenemos una función$\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu\phi,x)$que solo trata$\phi$y$\partial_\mu \phi$como números reales, y de los cuales tomamos las derivadas "parciales"$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}$. Esta es solo la derivada de esta función con respecto a su segundo argumento, nada especial, como en el caso de las partículas. Ahora, una vez más, puede conectar un campo$\phi(x)$en esta función, y obtienes una función$\mathcal{L}(\phi(x),\partial_\mu \phi(x),x)$eso ahora es sólo una función de$x$, y puede diferenciar este objeto. Como el$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$en el caso de las partículas, la$\partial_\mu$en la versión de campo de la ecuación de Euler-Lagrange se supone que actúa de esta manera: Deriva la función$\mathcal{L}$con respecto a su segundo argumento, luego inserte un campo$\phi(x)$, luego diferencie la función resultante wrt$x^\mu$- por lo que la derivada es de hecho una "total".

Para funciones de 1 parámetro:$\partial_t = \frac{d}{dt}$, p.ej$\dot{q} = \frac{d q}{dt} = \partial_t q$. Sin embargo, no debe interpretar$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$como derivada parcial ordinaria. La ecuación de Euler-Lagrange (ELE) surge de un principio variacional$\delta S = 0$y por lo tanto se deriva con derivados funcionales.

Obtenemos la regla de que se puede formar una ecuación diferencial parcial a partir de$\delta S = 0$al tratar$L(q,\dot{q},t)$en función de las variables independientes$q,\dot{q},t$y luego aplicando el ELE. Esto no te permite interpretar$L=L(q,\partial_t q, t)$como una función de$q,t$solo, o de lo contrario la derivación ELE habría fallado en primer lugar. El hecho de que para funciones de 1 parámetro obtenga una ecuación diferencial ordinaria es solo una coincidencia porque las ecuaciones diferenciales parciales de 1 parámetro son ecuaciones diferenciales ordinarias.

Entonces, de hecho, los ELE son ecuaciones diferenciales parciales para campos$\phi(t,x,y,z)$y trayectorias de partículas$q(t)$. Sin embargo, en la búsqueda posterior, también se trata de ecuaciones diferenciales ordinarias.