¿Por qué en el principio de acción la serie de Taylor se limita al primer orden?

Question

¿Por qué en el principio de acción la serie de Taylor se limita al primer orden?

Física
aproximaciones
diferenciación
formalismo lagrangiano
cálculo variacional
principio variacional

Joan J. Cáceres

Para el principio de Hamilton:

d s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q + d q, \dot{q} + d \dot{q}, t) d t - \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q, \dot{q}, t) d t = 0.

$\delta s =\int_{t_1}^{t_2}L(\mathbf {q+\delta q},\mathbf {\dot q+\delta \dot q},t) dt-\int_{t_1}^{t_2}L(\mathbf {q},\mathbf {\dot q},t) dt=0.\\$

En los libros de texto, utilizando la serie de Taylor:

L (q + d q, \dot{q} + d \dot{q}, t) = L (q, \dot{q}, t) + \frac{\partial L (q, \dot{q}, t)}{\partial q} \bar{d} q (t) + \frac{\partial L (q, \dot{q}, t)}{\partial \dot{q}} \bar{d} \dot{q} (t) + \frac{\partial}{\partial q} (\frac{\partial L (q, \dot{q}, t)}{\partial \dot{q}} \bar{d} \dot{q}) \bar{d} q + . . .

$L(\mathbf {q+\delta q},\mathbf {\dot q+\delta \dot q},t) =L(\mathbf {q},\mathbf {\dot q},t)+\frac{\partial L(\mathbf {q},\mathbf {\dot q},t)}{\partial \mathbf q} \bar \delta \mathbf q(t) +\frac{\partial L(\mathbf {q},\mathbf {\dot q},t)}{\partial \mathbf {\dot q}} \bar \delta \mathbf {\dot q(t)}+\frac{\partial}{\partial \mathbf q} (\frac{\partial L(\mathbf {q},\mathbf {\dot q},t)}{\partial \mathbf {\dot q}}\bar \delta \dot q)\bar \delta q + ...$

Pero, ¿por qué se omite el resto de la serie de Taylor? Creo que propagará mucho error en la derivación...

gentil

las variaciones

δ q

$\delta q$ debe multiplicar un coeficiente

ϵ

$\epsilon$ que eventualmente tomará el límite incremental. Las derivadas de orden superior seguirán presentando el factor multiplicativo después de la razón incremental y, por lo tanto, desaparecerán de todos modos.

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¿Por qué en el principio de acción la serie de Taylor se limita al primer orden?

las variaciones $\delta q$ debe multiplicar un coeficiente $\epsilon$ que eventualmente tomará el límite incremental. Las derivadas de orden superior seguirán presentando el factor multiplicativo después de la razón incremental y, por lo tanto, desaparecerán de todos modos.

ZeroTheHero · Answer 1

La ecuación de Euler Lagrange es una ecuación diferencial resultante de la búsqueda del extremo de un funcional: este extremo está dado por la primera variación únicamente.

Esto es similar a la condición para encontrar un punto donde una función $f$ es extremum: la condición $df/dx=0$ está en la primera derivada solamente.

En ambos casos, no se busca aproximar $L$ o $f$ por una serie, sino extraer del primer término de la serie una ecuación diferencial que debe satisfacer una función o una ecuación algebraica que debe satisfacer un punto.

Editar:

Además, el orden de la ecuación de Euler-Lagrange resultante puede ser mayor que 1 incluso si se considera solo la primera variación. Por ejemplo, en 1d, con un Lagrangiano del tipo $L=L(q,\dot{q},\ddot{q},t)$ , la ecuación EL resultante es de segundo orden:

\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} = 0.

$\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}+ \frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}=0.$

Finalmente, la primera variación (como la primera derivada) solo garantiza un extremum. Para verificar si se trata de un máximo o mínimo local, se debe usar la segunda variación (como la segunda derivada), pero a menudo es técnicamente complicada e innecesaria: uno puede simplemente verificar si cualquier otra construcción da una acción mayor o menor o más corta o camino más largo.

Esta no es la razón. La razón es que las variaciones $\delta q$ se multiplican por un coeficiente que se pone límite a cero después. Todos los términos en derivadas de orden superior aún presentan el coeficiente después del procedimiento de límite y, por lo tanto, desaparecen.
@GennaroTedesco Lo que se multiplica por un coeficiente, en el caso que se muestra arriba, no necesitaba declarar un coeficiente, lo que generalmente se declara como $\epsilon$
@GennaroTedesco Esto es equivalente, ya que el coeficiente restante es solo proporcional a la primera variación (o la definición de la primera derivada).
@JoanJ.Cáceres Ese es exactamente el punto. quieres definir $\delta L$ , que por definición es el límite de la relación incremental $L(q+ \epsilon) - L(q)$ encima $\epsilon$ . Su notación es solo una notación abreviada para todo.

¿Por qué en el principio de acción la serie de Taylor se limita al primer orden?

Joan J. Cáceres

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ZeroTheHero

gentil

Joan J. Cáceres

ZeroTheHero

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