¿Cómo encuentro la función derivada (δ/δϕ)(∂μϕ)(δ/δϕ)(∂μϕ)(\delta/\delta \phi) (\partial_\mu \phi)?

Question

¿Cómo encuentro la función derivada (δ/δϕ)(∂μϕ)(δ/δϕ)(∂μϕ)(\delta/\delta \phi) (\partial_\mu \phi)?

Física
Matemáticas
teoría de campo
diferenciación
cálculo variacional
derivados funcionales

mikkel rev

La pregunta es simple: ¿Cómo encuentro la función derivada de

(d / d ϕ (X)) (\partial_{m} ϕ (X)) ?

$(\delta/\delta \phi(x)) (\partial_\mu \phi(x))~?$ Por lo que puedo decir, no puedo usar ninguna de las reglas de cálculo estándar para la derivada funcional.

AccidentalFourierTransformar

\frac{δ}{δ ϕ (x)}

$\frac{\delta}{\delta\phi(x)}$ viaja con

\frac{\partial}{\partial y^{μ}}

$\frac{\partial}{\partial y^\mu}$ .

mikkel rev

Entonces, ¿la respuesta es la función de paso Heavyside?

AccidentalFourierTransformar

No.

${}{}{}{}$

mikkel rev

\partial_{μ} (δ ϕ (x) / δ ϕ (x)) = \partial_{μ} δ^{(4)} (0) = \partial_{μ} \infty = \infty

$\partial_\mu (\delta\phi(x) /\delta \phi(x)) = \partial_\mu \delta^{(4)}(0) = \partial_\mu \infty = \infty$ ?

qmecanico

Hola, @Marius Jonsson: ¿Esto está tomado de alguna referencia? ¿Qué página?

knzhou

Quieres

(δ / δ ϕ (y)) (\partial_{x} ϕ (x)) = \partial_{x} δ (x - y)

$(\delta / \delta \phi(y))(\partial_x \phi(x)) = \partial_x \delta(x-y)$ . (Algo perverso, algunas personas abandonarán todos los argumentos de posición y escribirán "

δ (\partial ϕ) / δ ϕ = \partial

$\delta(\partial \phi)/\delta \phi = \partial$ "o algo raro como eso.)

mikkel rev

Pero aquí, x = y, entonces es

\partial_{μ} δ (0)

$\partial_\mu \delta(0)$ cual es

δ (0) \partial_{μ} = \infty \partial_{μ}

$\delta(0) \partial_\mu = \infty \partial_\mu$ , por su argumento?

knzhou

@MariusJonsson No, significa que escribirlo con

x = y

$x = y$ ¡Está Mal!

Respuestas (2)

¿Cómo encuentro la función derivada (δ/δϕ)(∂μϕ)(δ/δϕ)(∂μϕ)(\delta/\delta \phi) (\partial_\mu \phi)?

$\frac{\delta}{\delta\phi(x)}$ viaja con $\frac{\partial}{\partial y^\mu}$ .
$\partial_\mu (\delta\phi(x) /\delta \phi(x)) = \partial_\mu \delta^{(4)}(0) = \partial_\mu \infty = \infty$ ?
Hola, @Marius Jonsson: ¿Esto está tomado de alguna referencia? ¿Qué página?
Quieres $(\delta / \delta \phi(y))(\partial_x \phi(x)) = \partial_x \delta(x-y)$ . (Algo perverso, algunas personas abandonarán todos los argumentos de posición y escribirán " $\delta(\partial \phi)/\delta \phi = \partial$ "o algo raro como eso.)
Pero aquí, x = y, entonces es $\partial_\mu \delta(0)$ cual es $\delta(0) \partial_\mu = \infty \partial_\mu$ , por su argumento?
@MariusJonsson No, significa que escribirlo con $x = y$ ¡Está Mal!

Valter Moretti · Answer 1

La expresion $\frac{\delta \partial_\mu\phi(y)}{\delta \phi(y)}$ es matemáticamente sin sentido .

Por definición, dado un funcional $F$ asociar reales (o, más generalmente, números complejos) $F[\phi]$ suavizar funciones $\phi$ , decimos que la distribución $\frac{\delta F}{\delta \phi(x)}$ es la derivada funcional de $F$ , si

\frac{d}{d α} |_{α = 0} F [ϕ + α F] = \int \frac{d F}{d ϕ (X)} F (X) d X

$\frac{d}{d\alpha}|_{\alpha=0} F[\phi + \alpha f] = \int \frac{\delta F}{\delta \phi(x)} f(x) dx$ para cada función suave con soporte compacto

f

$f$ .

En el caso considerado, uno tiene que calcular la derivada funcional de la funcional $F$ asociando $\partial_\mu \phi(y)$ a $\phi$ , es decir,

\partial_{m} ϕ (y) := \int \partial_{m} ϕ (X) d (X - y) d X .

$\partial_\mu \phi(y) := \int \partial_\mu \phi(x) \delta(x-y) dx\:.$ Tenemos

\frac{d}{d α} |_{α = 0} F [ϕ + α F] = \frac{d}{d α} |_{α = 0} \int \partial_{m} (ϕ (X) + α F (X)) d (X - y) d X = \int \partial_{m} F (X) d (X - y) d X

$\frac{d}{d\alpha}|_{\alpha=0} F[\phi + \alpha f] = \frac{d}{d\alpha}|_{\alpha=0} \int \partial_\mu (\phi(x)+ \alpha f(x)) \delta(x-y) dx = \int \partial_\mu f(x) \delta(x-y) dx$

= - \int F (X) \partial_{m} d (X - y) d X .

$= -\int f(x) \partial_\mu\delta(x-y) dx\:.$ Concluimos que

\frac{d \partial_{m} ϕ (y)}{d ϕ (X)} = - \partial_{m}^{(X)} d (X - y) = \partial_{m}^{(y)} d (X - y) .

$\frac{\delta \partial_\mu\phi(y)}{\delta \phi(x)} = - \partial^{(x)}_\mu\delta(x-y) = \partial^{(y)}_\mu\delta(x-y)\:.$ Entonces

\frac{δ}{δ ϕ (x)}

$\frac{\delta }{\delta \phi(x)}$ y

\partial_{μ}^{(y)}

$\partial^{(y)}_\mu$ conmutar como dijo @AccidentalFourierTransform.

En resumen, $\frac{\delta \partial_\mu\phi(y)}{\delta \phi(y)}$ no está definido porque el valor en un punto fijo de una distribución no regular no tiene significado.

+1 Me gustaría mencionar lo siguiente: si tuviéramos que insistir en que queremos que esa expresión se evalúe en $x=y$ ("en un sentido formal", por ejemplo, con algún esquema de regularización en mente), entonces se puede argumentar que la expresión se desvanece, ya que la derivada del delta de Dirac es impar.

qmecanico · Answer 2

Como se señaló correctamente en la respuesta de Valter Moretti, está matemáticamente mal definido aplicar (la definición tradicional de) la derivada funcional / variacional (FD)
$\begin{matrix} (1) & \frac{d L (X)}{d ϕ^{α} (X)} \end{matrix}$ $\frac{\delta {\cal L}(x)}{\delta\phi^{\alpha} (x)} \tag{1}$ al mismo punto del espacio-tiempo.
Sin embargo, es muy común introducir un FD del 'mismo espacio-tiempo' como
$\begin{matrix} (2) & \frac{d L (X)}{d ϕ^{α} (X)} := \frac{\partial L (X)}{\partial ϕ^{α} (X)} - d_{m} (\frac{\partial L (X)}{\partial \partial_{m} ϕ^{α} (X)}) + \dots . \end{matrix}$ $\frac{\delta {\cal L}(x)}{\delta\phi^{\alpha} (x)}~:=~ \frac{\partial{\cal L}(x) }{\partial\phi^{\alpha} (x)} - d_{\mu} \left(\frac{\partial{\cal L}(x) }{\partial\partial_{\mu}\phi^{\alpha} (x)} \right)+\ldots. \tag{2}$ que oscurece / traiciona su origen variacional, pero a menudo se usa por conveniencia notacional. (La elipsis $\ldots$ en la ec. (2) denota posibles contribuciones de derivados del espacio-tiempo de orden superior). Consulte, por ejemplo, las publicaciones this , this y this Phys.SE.

Si interpretamos la expresión de OP a través de la ec. (2), entonces la densidad lagrangiana de OP ${\cal L}=\partial_{\mu} \phi$ es una derivada total del espacio-tiempo, de modo que el FD del 'mismo espacio-tiempo' de OP se desvanece, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

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