Estoy tratando de entender un en el factor de simetría del diagrama "cactus" que aparece al final de la página 92 del libro de Peskin. Este es el diagrama en cuestión (nótese que estamos en teoría)
En el libro se afirma que el factor de simetría del diagrama es
donde dice que el proviene de intercambiar los vértices, el primero de la colocación de las contracciones en el vértice, el siguiente de la colocación de las contracciones en el vértice, el último de la colocación de las contracciones en el vértice y el final del intercambio de contracciones
es este ultimo que no entiendo ¿Puedes ser más explícito sobre de dónde viene esto?
Elegimos uno de los campos z para contraerse con el campo x único. Luego elegimos uno de los restantes campos z para contratar con uno de los w-campos. Los dos campos z restantes simplemente se contraen consigo mismos. Ahora elige uno de los restantes w-campos para contratar con el único y-campo.
(Aquí es donde tenemos que tener cuidado). Existen opciones para la contracción del campo w con uno de los campos u, y luego opciones para la otra contracción wu. Al calcular esta última combinación hemos sobrecontado por un factor de .
Para ver esto más claramente, considere una de las contracciones,
El subíndice indica qué campos se contraen con qué otros campos (no estoy seguro de cómo expresar las contracciones en Latex).
Hay dos formas de obtener esta contracción particular: podemos elegir el primer campo w para contraerlo con el primer campo u, y ENTONCES elegir el segundo campo w para contraerlo con el segundo campo u; O podríamos elegir el segundo campo w para contraerlo con el segundo campo u, y ENTONCES elegir el primer campo w para contraerlo con el primer campo u.
Claramente ambos son equivalentes. Sin embargo, en la combinatoria los hemos contado a ambos, por lo que debemos dividir por un factor de . Entonces, el número total de contracciones diferentes que dan la misma expresión que es
Donde el proviene del intercambio de vértices.
EDITAR: si eso no está claro, piense en el siguiente escenario. Hay dos cajas, en la primera hay dos objetos, , y , y en el segundo hay dos más, , y . ¿De cuántas maneras diferentes hay de emparejar los objetos para que cada objeto en el primer cuadro tenga un compañero en el segundo cuadro? Claramente la respuesta es dos: y ; y y .
Uno podría pensar que la respuesta es , pero podemos ver que esto produce duplicados
Entonces debemos multiplicar por un factor de para arreglar el conteo excesivo.
Espero que ayude.
No creo que la explicación en el libro sea clara, pero puedes ignorarla y obtener el factor correcto. como sigue.
El 1/2 proviene de la simetría del diagrama. En el sentido de que si miras hacia otro lado y cambio los dos propagadores, es un diagrama "diferente", pero no puedes decirlo. El número de formas de hacer esto es 2.
Si estos fueran propagadores dirigidos no sería el caso.
Neuneck