¿Factor de simetría en Srednicki?

Question

¿Factor de simetría en Srednicki?

Espaguetificación cuántica

El siguiente diagrama se da en Srednicki pg62 figura 9.7:

Srednicki le da a este diagrama un factor de simetría de $S=2^2=4$ . Pero usando un método que parece funcionar en todos los demás diagramas que obtengo $S=2$ (el método se da a continuación). ¿Me estoy perdiendo algo sutilmente aquí o el factor de simetría dado en el libro es incorrecto?

mi método

Dividimos cada uno de los vértices en 3 y contamos el número de formas en que podemos dibujar cada línea entre dos vértices (como se muestra a continuación): El número delante de los paréntesis da el número de formas mientras que el número entre paréntesis da el orden en que yo los eligió. Además de esto tenemos un factor de $^4C_2 \times 2$ por intercambiar el $4$ vértices (teniendo en cuenta que dos vértices son idénticos). Esto nos da un factor de simetría de:
$S^{- 1} = \frac{3 \times 3 \times 6 \times 6 \times 2 \times 2 \times 1}{(3!)^{4} \times 4!} \times^{4} C_{2} \times 2$ $S^{-1}=\frac{3\times 3\times 6 \times 6\times 2 \times 2 \times 1}{(3!)^4 \times 4!} \times{^4C_2}\times 2$ $= \frac{3 \times 3 \times 6 \times 6 \times 2 \times 2 \times 1}{(3!)^{4} \times 4!} \frac{4!}{2! 2!} \times 2$ $=\frac{3\times 3\times 6 \times 6\times 2 \times 2 \times 1}{(3!)^4 \times 4!} \frac{4!}{2!2!}\times 2$ $= 1 / 2$ $=1/2$ De este modo $S=2$

Respuestas (1)

¿Factor de simetría en Srednicki?

Abdelmalek Abdesselam · Answer 1

Tienes razón. Básicamente, está utilizando el método 1) de mi respuesta al Problema para comprender el factor de simetría en un diagrama de Feynman y lo manejó como un campeón. Si usa el método 2) de esa misma respuesta, también encontrará que solo hay un automorfismo no trivial. Piense en el gráfico como un "theta" tomando una siesta en una hamaca unida al eje dado por las dos patas externas. Este autmorfismo es la rotación de 180 grados alrededor de este eje.

PD: Si ha visto experimentos de dos etapas en probabilidad elemental o métodos de conteo más generales basados en árboles de decisión, entonces esto es básicamente lo que está haciendo. Recomiendo elegir primero los vértices: 4 opciones para el vecino del lado externo izquierdo multiplicado por 3 opciones para el vecino del lado derecho, y luego mirar el conteo de contracción de la línea interna. Por supuesto $4\times 3={}^{4}C_{2}\times 2$ .

Edite según el comentario de AFT: la respuesta anterior se basa en la suposición de que uno está calculando una función de dos puntos en lugar de un diagrama de vacío. Tenga en cuenta que el tema de los factores de simetría es una cuestión que pertenece a las matemáticas más que a la física. El escenario adecuado para manejar estos factores con rigor y precisión es la teoría de las especies combinatorias de Joyal: https://en.wikipedia.org/wiki/Combinatorial_species . Puede ver cómo se puede aplicar al contexto específico de los diagramas de Feynman en mi artículo "Diagramas de Feynman en combinatoria algebraica" . El artículo se centra en un modelo bosónico complejo con $\bar{\phi}\phi^n$ interacción, pero es sencillo transponerlo a la de un escalar real $\phi^3$ modelo como en la pregunta del OP.

El factor de simetría en Srednicki es correcto, de hecho es $S=4$ . Esto se confirma fácilmente mediante un cálculo directo en, por ejemplo, Mathematica. Tenga en cuenta que Srednicki considera que los vértices externos no están etiquetados, por lo que debe tener en cuenta las permutaciones de los mismos. Quizás este factor de $2$ es lo que usted (y OP) se están perdiendo. Si le apetece, desarrolle la integral de trayectoria explícitamente y compruebe por sí mismo que el diagrama tiene un factor de $4$ . Si expandes la función de dos puntos, tendrá un factor de $2$ . Esto se debe a que los diagramas en este último tienen hojas etiquetadas, a diferencia de los primeros.
@AccidentalFourierTransform: Ya veo. Srednicki hace algo un poco atípico: calcula diagramas de vacío de una teoría con ambos $\phi^3$ y $\phi$ vértices. De hecho, esto da como resultado un factor de simetría. $S=4$ porque los dos $1$ -los vértices valentes en los lados izquierdo y derecho del diagrama se tratan como internos. Mi respuesta se basó en la suposición de que uno está tratando de calcular una función de dos puntos $\langle\phi(x_1)\phi(x_2)\rangle$ lo que da $S=2$ porque los automorfismos contados tienen que mantener fijas las patas externas.
+1 Ahora estoy de acuerdo con tu respuesta. En el capítulo que está leyendo OP, Srednicki explica cómo calcular la función de partición $Z[j]$ . En ese punto, las hojas son indistinguibles y, por lo tanto, debe tener en cuenta las permutaciones de las mismas. Cuando empiezas a sacar derivadas funcionales $\frac{\delta}{\delta j_1}\cdots \frac{\delta}{\delta j_n}$ para calcular el $n$ función de punto, las hojas adquieren un marcaje (de $1$ a $n$ ), y por lo tanto el grupo de automorfismos contiene isomorfismos que fijan solo las etiquetas externas.

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Abdelmalek Abdesselam

AccidentalFourierTransformar

Abdelmalek Abdesselam

AccidentalFourierTransformar

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