¿Cómo se prueba que L=I−V+1L=I−V+1L=I-V+1 en la teoría λϕ4λϕ4\lambda\phi^4?

Esta fórmula es en realidad la fórmula de Euler para gráficos planos y es válida para todos los diagramas de Feynman, independientemente de la teoría en la que nos encontremos.

La demostración procede por inducción y es fácil si primero ignoramos el caso de las líneas que se cruzan:

1. Observe que un gráfico de un bucle tiene dos vértices, un bucle y dos líneas internas, por lo que la fórmula se cumple.

2. Observa que un$(n+1)$El gráfico de bucle se produce a partir de un$n$-gráfico de bucle dibujando una línea adicional entre dos vértices ya existentes, que no cambia$L-I$, o agregando un nuevo vértice y conectándolo a otros dos vértices, lo cual no cambia$L-I+V$.

3. Por inducción, la fórmula se cumple para todos los gráficos con un número finito de bucles.

Más formalmente, podemos decir que

Un diagrama de Feynman se llama plano si el gráfico adjunto obtenido al conectar todas las líneas externas a un solo vértice es plano .

y luego hemos demostrado hasta ahora que la fórmula se cumple para todos los gráficos planares de Feynman. Curiosamente, ni siquiera todos$\phi^4$las gráficas son planas. Considerar$2\to 2$(o$1\to 3$)-dispersión con un diagrama de caja, donde cada línea externa está conectada a su propio vértice, y cada vértice está conectado entre sí. El gráfico adjunto es el gráfico completo en cinco vértices, que se sabe que no es plano.

Sin embargo, la "fórmula de Feynman-Euler"

$$L-I+V = 1$$ todavía se mantiene debido a la forma en que se cuentan formalmente los bucles. Por la fórmula general de Euler, $$\#\{\mathrm{vertices}\} - \#\{\mathrm{edges}\} + \#\{\mathrm{faces}\} = 2 - 2g$$ dónde $g$es el género de la superficie sobre la que se puede dibujar el gráfico sin intersecciones, y las "caras" son todas las regiones delimitadas por aristas. Una "cara" no tiene que tener un vértice en cada esquina, por lo que cuando obtiene dos líneas que se cruzan en un gráfico de Feynman, obtiene dos caras adicionales que no cuenta como bucles: el cuadrado anterior $\phi^4$El diagrama tiene cuatro caras dentro de la caja, pero solo dos bucles.

Dado que cada cruce de líneas que no se puede eliminar deformando el gráfico (y, por lo tanto, es un "cruce verdadero" y no solo porque somos demasiado tontos para dibujar el gráfico correctamente) aumenta el género en el que podría dibujar el gráfico sin cruces por$1$, la "fórmula de Feynman-Euler" para todos los gráficos se deriva de la fórmula general de Euler.

La página 140 del libro de texto QFT de Srednicki proporciona una prueba mucho más simple:

Esto se puede ver contando el número de momentos internos y las restricciones entre ellos. Específicamente, asigne un impulso no fijo a cada línea interna; hay [$I$] de estos momentos. Entonces el$V$los vértices proporcionan$V$restricciones Una combinación lineal de estas restricciones da la conservación de la cantidad de movimiento general y, por lo tanto, no restringe la cantidad de movimiento interna. Por lo tanto, el número de momentos internos que quedan sin fijar por las restricciones de vértice es$[I] − (V−1)$, y el número de momentos no fijos es el mismo que el número de bucles L.