¿Cuántas distribuciones de carga multipolar verdaderamente diferentes hay?

La respuesta para los cuadrupolos es$2$. La mejor manera de pensar en un cuadrupolo es considerar los elementos$Y_{2m}$como combinaciones lineales de entradas en una matriz simétrica sin rastro:

$${\cal Q}=\left(\begin{array}{ccc} r^2-x^2&xy&xz\\ xy&r^2-y^2&yz\\ xz&yz&r^2-z^2\end{array}\right)$$ Dado que esta matriz es simétrica, se puede llevar a la forma diagonal con una rotación, por lo que hasta las rotaciones quedan dos valores propios para parametrizar su cuadrupolo. Estos suelen estar relacionados con $Y_{20}(\theta,\phi)$y algunas combinaciones lineales de $Y_{2\pm 2}(\theta,\phi)$componentes de modo que, en la notación habitual $${\cal Q}_0\sim 2z^2-x^2-y^2 \, ,\qquad {\cal Q}_2\sim x^2-y^2\, .$$ Cuando ${\cal Q}_2=0$la figura es axialmente simétrica, achatada o alargada según el signo de ${\cal Q}_0$. Cuando ${\cal Q}_2\ne 0$la figura no tiene eje de simetría (básicamente, una parte superior no simétrica).

El momento octupolar principal generalmente discutido en la literatura es proporcional a:

$$Y_{30}(\theta,\phi)\sim 5\cos(\theta)^3-3\cos(\theta)\, ,$$ pero debería haber al menos uno más ( $\sim Y_{33}(\theta,\phi)-Y_{3,-3}(\theta,\phi)$?) para sondear la distribución en el $\phi$dirección.

El lugar para buscar esto es la literatura de física nuclear, ya que los multipolos superiores revelan información sobre las formas nucleares, pero los libros de texto estándar que tengo a mano (Ring y Schuck, Krane) no discuten la$m\ne 0$componentes de los multipolos superiores. Los momentos octupolares se utilizan para probar la "forma de pera" de la figura, y siendo la pera simétrica axialmente, puede ser que la$m\ne 0$los componentes son demasiado pequeños para molestar.

(Ver también esta publicación para comentarios adicionales).

Hay una situación análoga en la mecánica cuántica. Por supuesto, es bien sabido que las representaciones proyectivas complejas irreducibles de dimensión finita de$SO(3)$están parametrizados por un medio entero no negativo$s=0,1/2,1,3/2,\ldots$con dimensión$2s+1$. Sin embargo, sobre estas representaciones la acción proyectiva de$SO(3)$solo es transitiva si$s=0$o$s=1/2$. Comprender las órbitas de$SO(3)$sobre estas representaciones es, pues, una cuestión de interés.

Majorana encontró una solución simple, comúnmente conocida como la representación estelar de Majorana. Un vector general distinto de cero en el espín$s$La representación se puede escribir como el producto tensorial simetrizado de$2s$vectores distintos de cero en el spin-$1/2$representación. Esto es único hasta escalar los vectores por factores que se multiplican para$1$y reordenando los vectores. Pasando a los espacios proyectivos, un estado general se representa por una colección de$2n$puntos no etiquetados (no necesariamente distintos) en la esfera de Riemann. la acción de$SO(3)$Aquí hay solo rotaciones de la esfera.

Así, un subconjunto denso del espacio proyectivo$P^{2s}$se asigna a las configuraciones no degeneradas de$2s$puntos no etiquetados en una esfera, que es un ejemplo bien estudiado de un espacio de configuración . Los matemáticos entienden bien la topología de los espacios de configuración. Por ejemplo, su grupo fundamental es el cociente del grupo trenzado en$2s$hebras por un solo relator (ver este documento para una prueba). Ese espacio de configuración hereda el$SO(3)$acción y el espacio de la órbita es el cociente de esa acción. También hay órbitas degeneradas cuando$2$o más de los puntos coinciden, y esto impide que el espacio de la órbita sea una variedad legítima (es, sin embargo, un orbifold ).

Para relacionar esto con las distribuciones multipolares, en realidad no necesitamos hacer mucho trabajo. El$Y_l^m$armónicos esféricos para$m=-l,\ldots,l$abarcar una copia de la$s=l$representacion de$SO(3)$. Aquí estamos viendo una representación real en lugar de una representación compleja. Como tal, debemos restringir el espacio a la sección real apropiada atravesada por armónicos esféricos reales. Además, en este caso se trata de una representación ordinaria, no de una representación proyectiva. Esto significa que obtenemos$1$grado de libertad de volver a escalar por números reales (no se permite el cambio de escala por números complejos). Finalmente, el cociente por el$SO(3)$acción mata 3 grados reales de libertad para suficientemente grande$l$tal que la acción es fiel (en este caso ya$l=2$es suficiente). En particular entonces, la dimensionalidad del espacio orbital es, por$l=0,1,2,3,4,\ldots$,

$$d_l=1,1,2,4,6,\ldots.$$