Como se puede ver en esta página http://en.wikipedia.org/wiki/Multipole_expansion cuando tomamos una expansión multipolar sin asumir la simetría azimutal, terminamos con coeficientes para el momento en la expansión. Entonces el momento dipolar tiene 3 términos, el cuadrupolo tiene 5 y así sucesivamente. Esto es diferente al caso de la simetría azimutal, ya que solo necesitamos un coeficiente para cada término.
Interpretar 3 coeficientes para el momento dipolar no es tan malo. ¿Supongo que representa los momentos dipolares a lo largo de los 3 ejes cartesianos? ¿Y cómo interpretamos el tener que tener coeficientes para cada término?
Para el -ésimo término tomas tensores de rango totalmente simétricos que son totalmente sin rastro bajo las contracciones de cada índice. Esto viene porque así es como se construyen los momentos multipolares, o más bien los armónicos esféricos, a partir de las coordenadas cartesianas. Por ejemplo tiene componentes que parecen que es un rastro simétrico matriz. Ser simétrico es tener componentes, siendo sin rastro elimina otro componente, dejando el cual es
La expansión multipolar esférica surge de la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas. Intentamos resolver por separación de variables y aparece una ecuación de valores propios.
El número 3 en el segundo término es causado por la degeneración de cierto valor propio (son 3 soluciones linealmente independientes para el mismo valor propio). El mismo argumento es válido para términos superiores.
Una feliz coincidencia nos permite identificar el potencial del dipolo (un par de cargas de signo opuesto con una pequeña separación) en el segundo término pero para términos superiores no es tan fácil.