Conductores y Teorema de Unicidad

Este es un caso típico de un problema que es suficientemente claro físicamente hablando, pero matemáticamente complicado. Cuando los resultados rigurosos se emplean folclóricamente para lograr algún resultado que, en realidad, necesitaría mucho más cuidado para derivarlo... Pero presumiblemente, los detalles matemáticos no cambiarían la imagen física. Aquí aparece evidentemente la diferencia entre la física teórica y la física matemática .

En realidad, ese teorema de unicidad no se usa correctamente en el ejemplo que mencionas. Tal como está en su declaración inicial, la propiedad de unicidad se cumple cuando$\Omega$es un subconjunto abierto y acotado de$\mathbb R^n$y$\varphi$es continua en$\overline{\Omega}= \Omega \cup \partial \Omega$y es$C^2(\Omega)$satisfaciendo la ecuación de Poisson$\Delta \varphi = \rho$en$\Omega$sí mismo.

(La prueba de unicidad es una consecuencia trivial de un célebre teorema sobre funciones armónicas$\phi$en$\Omega$, es decir, funciones que verifican$\Delta \phi =0$en$\Omega$, que son continuos en$\overline{\Omega}$. Ese teorema establece que, si$\Omega$es abierto y su cierre es compacto,$\max_{\overline{\Omega}} |\phi|$se alcanza en un punto de$\partial \Omega$. Pensando en$\phi$como la diferencia de dos soluciones de la ecuación de Poisson que cumplen las mismas condiciones de contorno, surge fácilmente la propiedad de unicidad).

Cuando$\Omega$no está acotado, como en el ejemplo mencionado, donde$\Omega = \{(x,y,z) \in {\mathbb R}^3\:|\: z>0\}$, hay que añadir más requisitos sobre el comportamiento de$\varphi$para$||(x,y, z)|| \to +\infty$, y hay varias posibilidades.

Sin embargo, el ejemplo mencionado adolece de otro problema. En el resultado de unicidad antes mencionado,$\rho$es continuo porque$\Delta \varphi$es. En el ejemplo considerado en cambio$\rho$es singular, propiamente hablando es un delta de Dirac. Hay varias posibilidades para hacer frente a este problema. El más simple es reemplazar la carga puntual con una distribución simétrica esférica dada, con carga total$q$y confinado en una pequeña región esférica limitada - y desapareciendo continuamente en el límite de esa región. En el resto de mi respuesta lo asumo. Otra posibilidad, técnicamente más complicada, es quitar el punto ocupado por la carga de$\Omega$. En este caso, el resultado de unicidad no puede explotarse tal como está porque$\Omega$adquiere otra parte del límite, donde el potencial diverge. En ese caso, podrían implementarse otros enfoques basados ​​en las identidades de Green en lugar del principio máximo.

En este caso en$\Omega$el cargo es$q$(eso es el$\rho$distribución que mencionas) con distancia$d$de$\partial \Omega$y$\varphi=0$en$\partial \Omega$porque$\partial \Omega$es un plano conductor puesto a tierra. El valor de$\varphi$en$\partial \Omega$es constante, somos libres de suponer que es$0$. La verdadera condición de contorno aquí es que$\varphi$alcanza en$\partial \Omega$el mismo valor que alcanza para$||(x,y, z)|| \to +\infty$.

Pasemos a considerar la situación en la que dos cargas se mantienen a la distancia recíproca$2d$a lo largo de$z$eje, centrándose en lo que sucede en$\overline{\Omega}$(no fuera de él) con respecto a las distribuciones de carga y las condiciones de contorno de$\varphi$.

El$\rho$distribución en el medio espacio$\Omega = \{(x,y,z) \in {\mathbb R}^3\:|\: z>0\}$es lo mismo que en el caso anterior: Existe el cargo$q$a distancia$d$desde el avión en$z=0$.

También las condiciones de contorno de$\varphi$en$\partial \Omega$y para$||(x,y, z)|| \to +\infty$son los mismos que para el otro caso: El avión en$z=0$es equipotencial en vista de la simetría del problema y el valor de$\varphi$al respecto es igual al valor de$\varphi$para$||(x,y, z)|| \to +\infty$.

Por lo tanto, aplicando la propiedad de unicidad en$\overline{\Omega}$, nos comprometemos a concluir que el potencial$\varphi$en la región$\Omega \cup \partial \Omega$es el mismo en ambos casos.

ANEXO . En realidad, uno puede usar un argumento que surge de la teoría de la regularidad elíptica para tratar la unicidad en situaciones en las que en una región limitada están presentes cargas puntuales descritas por deltas de Dirac. La idea se basa en el siguiente resultado de regularidad elíptica.

Si$\phi$es una distribución que verifica$\Delta \phi =f$(en sentido débil) para un suave ($C^\infty$) función$f$, entonces$\phi$es un$C^\infty$función hasta conjunto de medida cero.

(Vale la pena enfatizar que el resultado anterior implica de inmediato el hecho fantástico de que las funciones armónicas siempre son$C^\infty$y no solo$C^2$, en realidad es posible demostrar que son analíticas reales .) Este resultado conduce al siguiente teorema de unicidad que puede mejorarse debilitando algunas hipótesis sobre el comportamiento de la función en la frontera "regular".

teorema _ Suponer$\Omega \subset \mathbb R^n$no está vacío abierto y$\overline{\Omega}$es compacto Dejar$p \in \Omega$y considere el problema:

$$\Delta \varphi(x) =\rho \quad x \in \Omega \setminus \{p\}$$ con condiciones de contorno $$\varphi|_{\partial \Omega} = f$$ dónde $$\varphi \in C^2(\Omega \setminus \{p\}) \cap C^0(\partial \Omega \cup \Omega \setminus \{p\} )$$ y$f \in C^0(\partial \Omega)$y$\rho \in C^0(\Omega \setminus \{p\})$son asignados. Si ambos$\varphi_1$y$\varphi_2$son soluciones del problema y $$\lim_{x\to p} (\varphi_1(x)- \varphi_2(x))=0\:,$$ (donde los límites pueden divergir o no existir, si se consideran por separado para incorporar el caso de una carga puntual en$q$) entonces $$\varphi_1 = \varphi_2\:.$$

PRUEBA . Con las hipótesis dadas, evidentemente$\phi:= \varphi_1-\varphi_2$es continua en$\Omega$, por lo tanto es una distribución para funciones de prueba,$h\in C_0^\infty (\Omega)$. Si$B_\epsilon$es una pequeña bola alrededor$p$con radio$\epsilon$, utilizando la continuidad de$\phi$en particular, integrando por partes y definiendo$\Omega_\epsilon := \Omega \setminus B_\epsilon$, tenemos

$$\int_\Omega \phi \Delta h d^nx = \lim_{\epsilon \to 0^+}\int_{\Omega_\epsilon} \phi \Delta h d^nx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\Omega_\epsilon} (\Delta \phi) h d^nx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\Omega_\epsilon}(\rho-\rho) h d^nx$$ $$= \lim_{\epsilon \to 0^+} 0 = 0\:.$$ Todo eso significa que $\phi$es una solución de distribución $\Delta \phi =0$en sentido distributivo. Por lo tanto, en vista de la propiedad de regularidad elíptica mencionada, es una función suave hasta un conjunto de medidas cero. Desde $\phi$es continua en $\Omega \setminus \{p\}$y se extiende a una función continua en $p$(que tiene medida cero), $\phi = \varphi_1-\varphi_2$es una función suave en todas partes en $\Omega$. En particular, por continuidad de segundas derivadas, la función suavemente extendida $\phi$verifica $\Delta \phi =0$en todo el conjunto $\Omega$en el sentido propio . Por construcción, terminamos con una función $\phi$cual es $C^\infty(\Omega) \cup C^0(\overline{\Omega})$, satisfactorio $\Delta \phi =0$en $\Omega$y $\phi =0$en $\partial \Omega$. En vista del resultado de unicidad estándar, $\phi=0$en $\overline{\Omega}$, es decir $\varphi_1= \varphi_2$en $\overline{\Omega}$. QED

El teorema de unicidad en realidad se deriva de las matemáticas de ecuaciones diferenciales.

Si tiene un juego completo de 1) Diff eq. 2) Condiciones de contorno

Entonces tienes una única solución.

Esto significa también que si encontró una solución que cumple con estas condiciones, es la única solución que tiene.

En el llamado problema del espejo, lo que hace es cambiar una condición de contorno, por ejemplo, la distribución de carga en la superficie, por otra: la carga puntual virtual.

Cuando haya resuelto la carga puntual, la distribución de carga efectiva en la superficie imita la carga puntual virtual.

La ecuación diferencial es la misma, pero ha cambiado una condición de contorno de Dirichlet por una condición de contorno de Neuman correspondiente. esto produce la misma solución.

El análogo podría ser, por ejemplo, un oscilador armónico. La ecuación diferencial. es el mismo. Puede tener una condición límite de$x_0=$algo y$v_0$=algo más, y puedes intercambiarlos por$x_{t'}$= algo$v_{t'}$=algo más o un par de$x_{t'}$y$x_{t''}$
Y todos podrían dar la misma solución si son condiciones de contorno equivalentes.