¿Por qué los momentos multipolares de orden superior no se "apilan" como lo hacen los momentos monopolares y dipolares?

Esta pregunta, como tantas otras en física, puede responderse con un simple argumento de escala. cada permanente$2^\ell$-polo tendra un tamaño caracteristico al volumen que ocupa, llamamos a eso$a$. El número de$2^\ell$-los polos que potencialmente pueden apilarse constructivamente viene dado por una simple relación de volúmenes, digamos

$$N = \frac{L^3}{a^3},$$ en un $L\times L\times L$cubo.

El momento multipolar del bloque de construcción tendrá un factor de normalización que se puede arreglar para que sea

$$Q_\ell^m \propto qa^\ell,$$ por alguna carga característica $q$(generalmente alrededor de la carga del electrón). Si asumimos que estamos tratando con el multipolo no nulo más bajo, de modo que es invariante de traducción, entonces el total $2^\ell$-el momento polar será solo el número de $2^\ell$-polos por el momento por $2^\ell$-polo, para conseguir $$\begin{align} Q_{\ell,\mathrm{tot}}^m &\propto Nqa^\ell \\ & = q L^3 a^{\ell-3} \\ & = q \left(\frac{a}{L}\right)^{\ell - 3} L^\ell = q' L^\ell. \end{align}$$ El significado de la última línea es que es lo mismo que intercambiar todos los microscópicos $2^\ell$-polos para un solo macroscópico equivalente construido con monopolos de carga característica $q'$que obtienen lo mismo $2^\ell$-momento polar. Para $\ell < 3$, tamaño de las cargas necesarias para construir el equivalente macroscópico $2^\ell$-el polo crece con $L$. Para $\ell=3$, el momento octupolar, la carga característica es constante (por ejemplo, el momento octupolar neto de un cubo de sal es, hasta un factor numérico de unos pocos, lo mismo que tener un solo electrón/protón no compensado en las esquinas del cubo). Para $\ell > 3$la carga necesaria para construir el equivalente macroscópico $2^\ell$-el polo en realidad se encoge con el crecimiento $L$.

Concedido, para fijo$q$y$a$, la red$2^\ell$-el momento polar siempre crece$\propto L^3$, pero este cambio por un equivalente macroscópico$2^\ell$-pole coloca un concepto abstracto en términos concretos que hacen que sea más fácil imaginar cuán pequeños son los campos eléctricos que se producen.

Otra forma de ver el problema es considerar qué tan grande es el campo producido en la superficie del objeto. Para$2^\ell$-polo el término de orden principal en el campo eléctrico o magnético es proporcional a$r^{-2-\ell}$. Dado que la distancia mínima de observación es$r\sim L$, y el$2^\ell$-el momento polar crece como$L^3$, el campo eléctrico a la distancia mínima del equivalente puntual$2^\ell$-polo es$\propto L^{1-\ell}$. Con esta forma de medir el "impacto" de tratar de apilar multipolos, solo los momentos monopolares se apilan bien, siendo marginales los momentos dipolares.

Y todo esto supone que el "apilamiento" se puede hacer perfectamente, ignorando los efectos termodinámicos que conducen a dominios magnéticos y granos de cristal.