¡Demostrar que el teorema de Earnshaw es sutil en tres dimensiones!

La ecuación de Laplace para el potencial electrostático$\phi(\textbf{r})$es dado por

$$\nabla^2\phi(\textbf{r})=0.\tag{1}$$

Se dice que la ecuación (1) codifica el hecho:

Una carga móvil libre no puede existir en equilibrio estable bajo la influencia de las fuerzas electrostáticas solamente .

Para que una carga esté en equilibrio estable, debe estar ubicada en el extremo de su potencial$\phi(\textbf{r})$. En los libros de texto, se argumenta que la ecuación (1) implica que la función$\phi(\textbf{r})$no tiene un extremo.

Por lo tanto, los libros de texto parecen asumir que la condición necesaria para que una función de varias variables (al menos dos) no tenga un extremo es$\boldsymbol{\nabla}^2\phi(\textbf{r})= 0$.

Sin embargo, para una función$f(x,y)$de dos variables, la condición real para ningún extremo es

$$f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2<0\tag{2}$$ que no se ve igual (al menos inmediatamente) que $$\boldsymbol{\nabla}^2f(x,y)=f_{xx}+f_{yy}=0.\tag{3}$$ Sin embargo, para dos dimensiones, se puede probar que $(3)\Rightarrow (2)$(ver la prueba a continuación). Pero no es obvio en tres dimensiones.

---

Prueba

Tenga en cuenta que para dos dimensiones, la ecuación (1) implica$\phi_{xx}+\phi_{yy}=0.$Cuadrándolo obtenemos,

$$\phi_{xx}\phi_{yy}-(\phi_{xy})^2=-\frac{1}{2}(\phi^2_{xx}+\phi^2_{yy}+2\phi^2_{xy})<0$$ ya que la cantidad entre corchetes en el lado derecho es positiva.

---

Pregunta

Según tengo entendido, para más de una dimensión,$\nabla^2\phi(\textbf{r})=0$no es la condición necesaria real para la función$\phi(\textbf{r})$no tener extremo. La condición real de no extremum, en caso de$\phi(x,y)$es$\phi_{xx}\phi_{yy}-(\phi_{xy})^2<0$que sin embargo es consistente con (1).

Pero, ¿cómo es en general obvio que$\nabla^2\phi(\textbf{r})=0$es consistente con la condición de no extremum en tres dimensiones?