Aclaración de la expansión multipolar para una carga puntual

Los coeficientes multipolares asociados con un$1/|r|$distribución$\rho$depende de la elección del origen. Por ejemplo, si tiene una carga puntual y elige que el origen esté en esa carga puntual, tendrá un carácter de monopolo puro. Sin embargo, si elige que el origen esté en otro lugar, tendrá coeficientes de expansión distintos de cero además del monopolo. Este es un artefacto de su elección de sistema de coordenadas.

Para hacer esto riguroso, dejemos$\mathbf{I}=\{I_0^0,I_1^{-1},I_1^{0},I_1^1,...\}$y$\mathbf{R}=\{R_0^0,R_1^{-1},R_1^{0},R_1^1,...\}$Sea el conjunto de armónicos sólidos regulares e irregulares. Entonces el potencial$V(\mathbf{r})$debido a$\rho$admite las expansiones multipolares exterior e interior

$$V=\sum_{J=0}^\infty \mathbf{I}_J\rangle\left\langle\mathbf{R}_J,\rho\right\rangle\qquad\text{when }|\mathbf{r}|>r_\text{max} \\ V=\sum_{J=0}^\infty \mathbf{R}_J\rangle\left\langle\mathbf{I}_J,\rho\right\rangle\qquad\text{when }|\mathbf{r}|<r_\text{min}$$ o en notación matricial, $$V=\mathbf{I}\mathbf{R}^\dagger\rho\qquad\text{when }|\mathbf{r}|>r_\text{max} \\ V=\mathbf{R}\mathbf{I}^\dagger\rho\qquad\text{when }|\mathbf{r}|<r_\text{min}.$$

En el caso de que$\rho$es puramente real, podemos usar los armónicos sólidos reales$\mathbf{I}'$y$\mathbf{R}'$, que están relacionados con los armónicos sólidos estándar por una matriz diagonal de bloque unitario $\mathbf{U}$a través de$\mathbf{I}'=\mathbf{I}\mathbf{U}$de donde obtenemos las expansiones reales análogas

$$V=\mathbf{I}\mathbf{R}^\dagger\rho=\mathbf{I}\mathbf{U}\mathbf{U}^\dagger\mathbf{R}^\dagger\rho=[\mathbf{I}'][\mathbf{R}']^\dagger\rho=[\mathbf{I}'][\mathbf{R}']^\mathsf{T}\rho\qquad\text{when }|\mathbf{r}|>r_\text{max} \\ V=\mathbf{R}\mathbf{I}^\dagger\rho=\mathbf{R}\mathbf{U}\mathbf{U}^\dagger\mathbf{I}^\dagger\rho=[\mathbf{R}'][\mathbf{I}']^\dagger\rho=[\mathbf{R}'][\mathbf{I}']^\mathsf{T}\rho\qquad\text{when }|\mathbf{r}|<r_\text{min}$$

que tiene la ventaja de que la lista de momentos multipolares$[\mathbf{I}']^\mathsf{T}\rho$o$[\mathbf{R}']^\mathsf{T}\rho$son puramente reales.

Entonces, ¿por qué una carga puntual que no se encuentra en el origen tiene otros momentos que un monopolo? Es por la misma razón por la que una lavadora con un mapache dentro se sacudirá cuando esté en un ciclo de lavado: no está balanceada, ya que las cargas (o la masa) no están ubicadas en el centro del sistema de coordenadas relevante.

Como prueba explícita de por qué una carga puntual no ubicada en el origen no puede tener un momento monopolar puro, suponga lo contrario. Luego, una carga de prueba se acelerará uniformemente hacia el centro del sistema de coordenadas, en lugar de hacia la carga puntual. Esto es una contradicción. Por lo tanto, debe haber momentos superiores involucrados.

Alternativamente, también se puede obtener una justificación detallada aplicando el teorema de la suma para los armónicos esféricos, pero es de esperar que la prueba dada en el párrafo anterior sea lo suficientemente esclarecedora para mostrar por qué aparecerán momentos más altos cuando una carga puntual no está ubicada en el origen elegido.

Aquí hay un ejemplo numérico para calcular los momentos de una sola carga puntual ubicada en coordenadas esféricas$(R,\pi/2,0)$en Mathematica (también calcula el potencial$V$en un punto arbitrario y lo compara con el potencial obtenido de la aplicación directa de$V=1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|$):

SolidHarmonicI[l_, m_, r_, \[Theta]_, \[Phi]_] := 
  Sqrt[(4 \[Pi])/(2 l + 1)]
    SphericalHarmonicY[l, m, \[Theta], \[Phi]]/r^(l + 1);
SolidHarmonicR[l_, m_, r_, \[Theta]_, \[Phi]_] := 
  Sqrt[(4 \[Pi])/(2 l + 1)] r^
   l SphericalHarmonicY[l, m, \[Theta], \[Phi]];
SphToCart = CoordinateTransform["Spherical" -> "Cartesian", #] &;
r = {R, \[Pi]/2, 0};(*Spherical coordinates of point charge*)

Q[L_, m_] := ((-1)^m SolidHarmonicR[L, -m, ##] & @@ 
    r) q;(*Exterior multipole moment or order (L,m)*)
MatrixForm[
 Table[Q[L, m], {L, 0, 5}, {m, -L, L}]]
rule = {R -> 1.2, q -> 2, 
   rtest -> 5.2, \[Theta]test -> 1.2, \[Phi]test -> 2.3};
Chop[Sum[SolidHarmonicI[L, m, rtest, \[Theta]test, \[Phi]test] Q[L, 
     m], {L, 0, 5}, {m, -L, L}] /. rule]
q/Norm[SphToCart@r - 
    SphToCart@{rtest, \[Theta]test, \[Phi]test}] /. rule

0.332219

0.332273

$$\left( \begin{array}{c} \{q\} \\ \left\{\frac{q R}{\sqrt{2}},0,-\frac{q R}{\sqrt{2}}\right\} \\ \left\{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2}} q R^2,0,-\frac{q R^2}{2},0,\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2}} q R^2\right\} \\ \left\{\frac{1}{4} \sqrt{5} q R^3,0,-\frac{1}{4} \sqrt{3} q R^3,0,\frac{1}{4} \sqrt{3} q R^3,0,-\frac{1}{4} \sqrt{5} q R^3\right\} \\ \left\{\frac{1}{8} \sqrt{\frac{35}{2}} q R^4,0,-\frac{1}{4} \sqrt{\frac{5}{2}} q R^4,0,\frac{3 q R^4}{8},0,-\frac{1}{4} \sqrt{\frac{5}{2}} q R^4,0,\frac{1}{8} \sqrt{\frac{35}{2}} q R^4\right\} \\ \end{array} \right)$$

Tenga en cuenta que hay momentos distintos de cero de todos los órdenes siempre que$R\neq 0$. Sin embargo, el potencial en la ubicación de la prueba es correcto con una precisión de partes por mil cuando la suma asciende a$L=4$.

¿Cómo pruebo que una carga de un solo punto solo tiene monopolo?

Colocar$R=0$en el triángulo de números anterior. Todo se desvanece excepto el término monopolo.