Si tengo un tensor de rango dos que quiero analizar, digamos, un momento de cuadrupolo eléctrico o un momento de inercia, a menudo puede ser muy fácil de analizar moviéndose a su marco de ejes principales: uno gira a un marco de referencia donde el tensor es diagonal, y esto simplifica todo tipo de interpretaciones al respecto, ya sea que uno vea el tensor como una transformación lineal o como una forma de dos o lo que sea.
Sin embargo, cuando uno se enfrenta a un tensor de rango tres o superior, es mucho menos obvio cómo proceder. Dado un tensor general con entradas arbitrarias (aunque probablemente pida que sea simétrico en todos los pares de dimensiones, solo para mantener las cosas simples), presumiblemente existe un marco de referencia donde el tensor es mucho más fácil de entender (entonces, como ejemplo, un octupolo inclinado que se comporta como tiene simetría axial, y se verá mucho más simple si pones tu coordenada a lo largo de ese eje), pero ¿qué es ese marco, qué propiedades tiene y cómo se encuentra?
Un tensor de rango dos tendrá 3 ejes principales que se pueden visualizar. Terminarás con 3 ejes y la mejor manera de visualizarlos en un punto es con un esferoide achatado en cada punto. Efectivamente, simplemente gira la elipse creada por 2 de los ejes principales sobre el tercero. Varios paquetes de software pueden hacer esto, prefiero ParaView pero cada uno por su cuenta.
Sin embargo, un orden más alto que ese y no tendrá una muy buena manera de visualizarlo. Preferiría pasar a un tipo diferente de análisis y, en cambio, comenzar a observar la topología del campo y estudiar las invariantes del tensor. Estos invariantes son los coeficientes de la ecuación característica, que para el rango dos es:
Expresiones similares existen, por supuesto, para dimensiones superiores. Este artículo y este artículo proporcionan algoritmos para calcular las invariantes y proporcionan las expresiones para un tensor de rango cuatro. En el contexto de mi trabajo, la dinámica de fluidos, esto se hace con el tensor de gradiente de velocidad, o el tensor de velocidad de deformación o el tensor de velocidad de rotación. El el espacio se divide por las superficies discriminantes, y éstas se pueden asignar a características topológicas. En el ejemplo de rango dos, hay 8 sectores que corresponden a focos, sillas, nodos, etc. que pueden ser estables o inestables (consulte, por ejemplo, este documento para aplicaciones en fluidos). Nuevamente, volviendo a mi trabajo, a estos se les pueden asignar propiedades físicas. Por ejemplo, enfoque/compresión inestable corresponde a compresión de vórtice. El nodo/silla/silla inestable es una hoja de vórtice, mientras que el nodo/silla/silla estable es un tubo de vórtice. Estoy seguro de que se podrían atribuir otras descripciones en su caso, y para invariantes de orden superior. Los mismos invariantes también pueden tener un significado físico. Para fluidos, es la expansión/compresión volumétrica y está relacionado con la rotación.
La última técnica topológica con la que estoy familiarizado es el Morese-Small Complex. En esto, toma un campo e identifica los puntos críticos: mínimos locales, máximos, sillas de montar y nodos. Luego, estos puntos se conectan entre sí a través del campo y los límites alrededor de cada punto crítico identifican el flujo de información a lo largo de la topología. Es útil para crear mapas topológicos de conjuntos de datos de alta dimensión.
Emilio Pisanty
Emilio Pisanty