¿Es una derivada temporal total o explícita en la ecuación de Schrödinger?

La ecuación de Schrödinger más general tiene derivadas totales

$$i\hbar \frac{d}{dt}|\psi\rangle = \hat H |\psi\rangle$$ porque el vector de estado $|\psi\rangle$solo depende de una variable, $t$. Es un objeto complicado que conoce la probabilidad de cualquier cosa en el estado dado, pero está oculto "dentro" del vector de estado.

Sin embargo, si reescribe el vector de estado en una representación dada, por ejemplo, como$\psi(t,x,y,z,X,Y,Z)$para la función de onda de dos partículas, entonces la dependencia de$x,y,z,X,Y,Z$, las coordenadas de dos partículas, se pone en pie de igualdad con el$t$-dependencia, y por lo tanto la$t$-las derivadas tienen que escribirse como parciales,$\partial/\partial t$, para enfatizar que$x,y,z,X,Y,Z$se mantienen fijos durante la diferenciación.

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(t,x,y,z,X,Y,Z) = \hat H \psi(t,x,y,z,X,Y,Z)$$ donde el hamiltoniano contiene cosas como la energía cinética de la primera partícula $$\hat H = \dots -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)+\dots$$ y de manera similar la energía cinética de la segunda partícula $$\hat H = \dots -\frac{\hbar^2}{2M} \left( \frac{\partial^2}{\partial X^2} + \frac{\partial^2}{\partial Y^2} + \frac{\partial^2}{\partial Z^2} \right)+\dots$$ Tenga en cuenta que hay derivadas parciales en todas partes porque $\psi$ya no es un "vector de estado general" cuya información se compacta; es una función de valor complejo de muchas variables.