Realizaciones diferenciales de ciertas álgebras

Las realizaciones diferenciales de álgebras son comunes en física. Esta es la idea general para el álgebra de Lie.

Un poco de historia.

Recuerda que un álgebra es un par$(V,[\cdot,\cdot])$dónde$V$es un espacio vectorial sobre un campo$\mathbb F$y$[\cdot,\cdot]$es un$\mathbb F$-mapeo bilineal de$V\times V$a sí mismo. Llamamos al mapeo$[\cdot, \cdot]$el soporte _ El álgebra se llama álgebra de mentira siempre que el paréntesis satisfaga las siguientes dos propiedades para todos$x,y,z\in V$:

$$\begin{align} 0&=[x,x] \tag{L1}\\ 0&= [x,[y,z]] + [z,[x,y]]+[y,[z,x]]. \tag{L2} \end{align}$$ Propiedad $(\mathrm{L2})$se llama la Identidad de Jacobi . Un mapeo lineal $\phi$entre dos álgebras de mentira $\mathfrak g$y $\mathfrak h$se llama homomorfismo siempre que conserve el paréntesis, a saber $$\begin{align} \phi([x,y]_\mathfrak g) = [\phi(x), \phi(y)]_\mathfrak h. \end{align}$$ Una representación de un álgebra de Lie $\mathfrak g$sobre un campo $\mathbb F$es un homomorfismo $\phi:\mathfrak g\to \mathfrak {gl}(V)$dónde $V$es un espacio vectorial sobre $\mathbb F$. Aquí $\mathfrak{gl}(V)$denota el conjunto de todos los mapas lineales de $V$a $V$que forma un álgebra de Lie cuando se toma el paréntesis como el conmutador inducido por composición de funciones; $[f,g] = f\circ g - g\circ f$.

Representaciones por operadores diferenciales.

A menudo, en física, se considera una representación de un álgebra de Lie$\mathfrak g$que asigna cada elemento del álgebra de mentiras a un operador diferencial lineal en algún espacio vectorial de funciones. Esto es lo que hacen los periódicos cuando encuentran relaciones diferenciales de álgebras de Lie.

Un ejemplo.

El álgebra tridimensional de Heisenberg , también conocida por los físicos como álgebra del oscilador armónico , es un espacio vectorial complejo tridimensional con base$\{a, a^\dagger, I\}$y un soporte definido por las siguientes relaciones estructurales:

$$\begin{align} [a,a^\dagger] = I, \qquad [a,I]=0, \qquad [a^\dagger, I]=0. \end{align}$$ En general, las relaciones de estructura son simplemente relaciones que especifican la acción del paréntesis de Lie en todos los pares distintos de elementos básicos. Ahora, considere el mapeo lineal $\phi:\mathfrak g\to \mathfrak {gl}(L^2(\mathbb R))$dado por su acción sobre $a,a^\dagger, I$como sigue: $$\begin{align} \phi(a) &= \frac{1}{\sqrt{2}}(P - i X), \qquad \phi(a^\dagger) = \frac{1}{\sqrt{2}}(P + i X), \qquad \phi(I) = I \end{align}$$ dónde $P,X,I$se definen por $$\begin{align} (Pf)(x) &= -i\frac{df}{dx}(x), \qquad (Xf)(x) = xf(x), \qquad (If)(x) = f(x) \end{align}$$ Se puede demostrar (¡pruébelo!) que este mapeo es un homomorfismo del álgebra de Lie, por lo que es una representación del álgebra del oscilador armónico por medio de operadores diferenciales en el espacio vectorial de funciones cuadradas integrables de valores complejos en la línea real.

Cómo encontrar tales representaciones.

No estoy seguro de cómo se podría haber descubierto la representación$\phi$anterior para el álgebra del oscilador armónico, pero una forma común de generar tales representaciones de álgebras de Lie es determinar una variedad Riemanniana o semi-Riemannin$(M,g)$cuyo álgebra de vectores Killing es el álgebra que estás buscando. Los vectores de Killing luego dan la representación deseada en términos de operadores diferenciales que actúan en el espacio vectorial de funciones escalares en la variedad, siempre que pueda resolver la ecuación de Killing.

Por ejemplo, supongamos que queremos determinar una representación de$\mathfrak{so}(3)$en términos de operadores diferenciales. Consideramos tomar la variedad de Riemann$S^2$. Es álgebra de matar vectores.$\mathfrak{so}(3)$, el álgebra de Lie del grupo de rotación tridimensional. ¿Cuáles son los vectores de muerte? Bueno, en coordenadas esféricas, la métrica es

$$\begin{align} ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2 \end{align}$$ y en estas coordenadas se obtienen los siguientes vectores de muerte: $$\begin{align} R &= \partial_\phi \\ S &= \cos\phi\partial_\theta - \cot\theta \sin\phi\partial_\phi \\ T &= -\sin\phi\partial_\theta - \cot\theta \cos\phi\partial_\phi \end{align}$$ que, como puede verificar tomando conmutadores, da la representación deseada de $\mathfrak {so}(3)$como operadores diferenciales que actúan sobre el espacio vectorial de funciones escalares en $S^2$.