Esto está inspirado en la sección 2.2 de Griffiths QM, sobre el pozo cuadrado infinito, que trata sobre lo lejos que he llegado (así que, lo siento si esto se aborda más adelante en el libro).
Para cualquier función de onda inicial dada, puede expresarla como una suma de las soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Los coeficientes de la suma son constantes en el tiempo, por lo tanto, el valor esperado de la energía es constante en el tiempo. El capítulo dice "esta es una manifestación de la conservación de la energía en la mecánica cuántica". De acuerdo.
Ahora, en el problema 2.5, tenemos una función de onda que es una mezcla uniforme de los dos primeros estados estacionarios. La Parte D nos hace calcular el valor esperado del momento y la solución es sinusoidal en el tiempo. Por tanto, la cantidad de movimiento no se conserva.
¿Cómo puede no conservarse el impulso? ¿Por qué se conserva la energía pero no la cantidad de movimiento?
Esta sutileza está relacionada con el hecho de que el operador de cantidad de movimiento (a diferencia del hamiltoniano ) no tiene funciones propias compatibles con las condiciones de contorno de Dirichlet, y no es un operador autoadjunto . Este es esencialmente el Ejemplo 4 en F. Gieres, Sorpresas matemáticas y el formalismo de Dirac en la mecánica cuántica, arXiv:quant-ph/9907069 , ver p. 6, 39, 44-45. En particular, no podemos elegir un conjunto común de funciones propias para y . Consulte también, por ejemplo, esta publicación relacionada con Phys.SE y los enlaces que contiene.
El teorema de Noether dice que si el Lagrangiano de su sistema es invariante bajo traslaciones, entonces se conserva el impulso. Dado que el potencial no es traducción invariante el Lagrangiano tampoco lo es. Por lo tanto, no debemos esperar que se conserve el impulso. Para una partícula clásica que se mueve en un potencial esto es cierto también. La partícula pierde y gana impulso continuamente a medida que se mueve hacia arriba y hacia abajo en el potencial.
Entonces, ¿esto viola la conservación del impulso? En el mundo real: no. En el mundo real, no encuentras un potencial aleatorio simplemente tirado. El potencial siempre es creado por algún sistema externo y cualquiera que sea el sistema que crea el potencial tendrá en cuenta los cambios en la cantidad de movimiento de modo que se conserve la cantidad de movimiento total.
Me doy cuenta de que esta pregunta es un poco antigua y el OP probablemente ya haya encontrado la respuesta, pero espero que ayude a algunas personas en el futuro.
pez_ridículo