Con respecto al universo, ¿"casi plano" no significa "no plano"?

(Casi) duplicado de una respuesta que escribí anteriormente:

Las hipótesis de homogeneidad e isotropía conducen a la métrica FLRW para el universo, a saber:

$$ds^2 = cdt^2 - a(t)^2\left [ \dfrac{dr^2}{1+kr^2/R^2}+r^2 d^2\Omega \right ]$$ dónde $R$es el radio de curvatura del universo y $k$puede tomar los valores -1, 0 o 1 para un universo esférico, plano o hiperbólico. Este resultado es una consecuencia directa del principio cosmológico.

Para derivar la relación entre estos parámetros y el contenido del universo, se deben aplicar las ecuaciones de Einstein. Se obtienen así las llamadas ecuaciones de Friedmann:

$$\left\{\begin{matrix} \dot{a}^2-\dfrac{8 \pi G}{3c^2} \displaystyle \sum_i \rho_i a^2 & = & \dfrac{kc^2}{R^2} \\ \dfrac{d}{dt}\left ( \rho_i a^3 \right ) & = & -P_i \dfrac{d}{dt} \left (a^3 \right) \\ \end{matrix}\right.$$ Dónde $\rho_i$y $P_i$denotan la densidad de energía y la presión de cada componente del universo, cuyo comportamiento está determinado por su ecuación de estado (p. ej. $P = 0$por materia polvorienta, $P=\rho/3$por radiación, $P=-\rho$para la energía oscura.)

El valor presente de$a$es 1. Evaluando la primera ecuación en el momento actual$t_0$, y usando la definición de la constante de Hubble$H_0 = \dot{a}(t_0)/a(t_0) = \dot{a}(t_0)$, encontramos :

$$H_0^2 - \dfrac{8 \pi G}{3c^2} \displaystyle \sum_i \rho_i = \dfrac{kc^2}{R^2}$$

Es conveniente definir la densidad crítica como$\rho_c = 3c^2 H_0^2/(8\pi G)$, de modo que :

$$\rho_c - \displaystyle \sum_i \rho_i = \dfrac{3c^2}{8 \pi G} \dfrac{kc^2}{R^2}$$

Este resultado significa que el universo es esférico si la densidad de energía total excede$\rho_c$, planos si son iguales e hiperbólicos si la densidad total es menor. Así es como la curvatura se relaciona con el contenido del universo. Puede ver que esto no depende de la distribución de densidad (es decir, cuánto es energía oscura, cuánto es de otro modo) Una forma de cuantificar la salida del universo de una geometría plana es evaluar el parámetro de densidad de curvatura$\Omega_k$definido como :

$$\begin{equation} \Omega_k \equiv \dfrac{\rho_c-\rho}{\rho_c} \end{equation}$$

Pero esto también equivale, según las ecuaciones de Friedmann:

$$\begin{equation} \Omega_k = \dfrac{kc^2}{H_0^2R^2} \end{equation}$$

Entonces puede interpretar en términos de la diferencia relativa de la densidad de energía frente a la densidad de energía crítica (primera expresión), o en términos geométricos (segunda expresión). Tenga en cuenta que los tensores de curvatura/escalares o en$\mathcal{O}(1/R^2)$.

Los límites más estrictos de$\Omega_k$se obtienen mediante el análisis de las anisotropías CMB y son compatibles con un universo plano ($|\Omega_k| < 5 \times 10^{-3}$, arXiv:1502.01589 ), pero existen otras formas de medir este parámetro utilizando velas estándar y reglas estándar.

Ahora, volviendo al título de tu pregunta. En física, como siempre, los parámetros continuos no se pueden medir con una precisión infinita. Entonces, en cierto modo, "casi plano" podría entenderse como "nuestras medidas son compatibles con que sea plano". Además, si nos fijamos en la expresión para$\Omega_k$, se puede ver que es proporcional a$R_H^2/R^2$, dónde$R_H = c/H_0$es el radio de Hubble. El radio de Hubble te dice más o menos el tamaño del universo visible. Entonces, una curvatura pequeña significa un radio de curvatura mucho mayor que el tamaño del universo visible. Si recuerda que hasta hace poco el parámetro de curvatura era poco conocido (durante algún tiempo se pensó que era$\sim 10 \%$) entonces "casi plano" solo enfatizaría la coincidencia de que$\rho$y$\rho_c$son al menos del mismo orden de magnitud. Hoy en día, el modelo estándar de cosmología (estándar$\Lambda$CDM) incluye una época inflacionaria, que tiende a aplanar el espacio dramáticamente, por lo que$\Omega_k$se establece en 0 en este modelo de forma predeterminada (a veces se expresa como$\Omega_M+\Omega_{\Lambda} = 1$).

Haré referencia a una publicación anterior de intercambio de pila sobre cosmología que escribí. La ecuación de energía que derivo usando la mecánica newtoniana se modifica en relatividad general a

$$\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = H^2 = \frac{8\pi G\rho}{3} + \frac{k}{a^2},$$ dónde $k~=~0$corresponde a un espacio plano para la cosmología. Para $k~=~1$la variedad espacial es esférica y cerrada y para $k~=~-1$la variedad espacial es hiperbólica y abierta. Lo curioso es que como el último término varía con el recíproco de la escala al cuadrado sus implicaciones físicas pueden ser muy sutiles. Para una cosmología grande o que se ha expandido durante un largo período de tiempo, es muy difícil determinar la forma de la superficie espacial. Una esfera muy grande puede parecer localmente plana.