Cito de la página de Wikipedia sobre la forma del universo :
Si la geometría espacial [del universo] es esférica, es decir, posee curvatura positiva, la topología es compacta.
Estoy tratando de entender si la declaración citada es verdadera, a la luz de este ejemplo simplificado:
Suponga que tiene algún sistema de coordenadas para el universo, , y la curvatura espacial viene dada por una función . Supongamos que para todos , los dos eventos y Son identicos. En otras palabras, la dimensión es "compacto" con "punto" (En otras palabras, la topología de este espacio tiene el círculo como un factor, creo).
Ahora, puedo definir otro universo, con coordenadas , tal que ya no es compacto, es decir, es diferente a cualquier evento para todos y . Para este universo, deje que su curvatura esté dada por la misma función que la anterior . En otras palabras, este nuevo universo tiene exactamente la misma estructura de curvatura local que el universo original, pero ya no es compacto.
Ahora, entiendo que en este ejemplo no mencioné la curvatura (y en particular, es plano). Pero, ¿no se puede hacer la misma "descompactación" también a los espacios curvados positivamente, mostrando que una curvatura positiva no implica necesariamente un universo compacto?
Como pensamiento adicional, si imagino el espacio como un -esfera, con coordenadas esféricas ( es azimut, es inclinación, ), entonces podría hacer una "descompactación" haciendo y ser puntos distintos en el espacio. Veo, sin embargo, que esto se rompe en el polo , porque todos los puntos con Son identicos. ¿Pero es esto un problema?
Sin embargo, veo que esto se rompe en el polo θ=0, porque todos los puntos con θ=0 son idénticos. ¿Pero es esto un problema?
Sí, es un problema, porque si omites los polos de una esfera, entonces tiene la topología de un cilindro, no de una esfera.
Hay un teorema en geometría diferencial llamado el teorema de Myers . Este es un teorema de la geometría riemanniana (no de la geometría semirriemanniana), pero podemos aplicarlo a la métrica de una porción similar al espacio de un espaciotiempo cosmológico, que es riemanniana. El teorema de Myers básicamente nos dice que si la curvatura de Ricci está limitada por abajo por un límite positivo, entonces el espacio es compacto (y el teorema también pone un límite a su diámetro).
Tenga en cuenta que no es suficiente tener una curvatura que sea positiva en todas partes. También necesita un límite inferior global. Pero normalmente hacemos que nuestros modelos cosmológicos sean homogéneos, por lo que la curvatura de Ricci es, de hecho, la misma en todas partes.
