¿Cómo calcular el radio de curvatura de un universo FLRW en términos de densidad de energía ρρ\rho?

El radio de curvatura en un universo FLRW es

$$R_k=\frac{c}{H \sqrt{-Ω_k}}$$

por lo que necesita el parámetro Hubble

$$H=H_0 \sqrt{\Omega_R \ a^{-4}+\Omega_M \ a^{-3}+\Omega_K \ a^{-2}+\Omega_{\Lambda}}$$

y el parámetro de curvatura

$$\Omega_k= \frac{\rho_k}{\rho_c} \ , \ \ \rho_k = \frac{\rho_K}{a^2} \ , \ \ \rho_K=\Omega_K \ \rho_c \ , \ \ \rho_c=\frac{3H^2}{8 \pi G}$$

Los subíndices en mayúsculas representan los valores presentes y los en minúsculas los valores dependientes del factor de escala. El parámetro de curvatura actual es$\Omega_K=1-\Omega_T$dónde

$$\Omega_T=\Omega_R+\Omega_M+\Omega_{\Lambda}$$

El tiempo por factor de escala es

$$t=\int_0^a \frac{1}{a' \ H} \, {\rm d}a'$$

y, en general, el factor de escala por tiempo tiene que resolverse numéricamente, a menos que asuma planitud y desprecie la radiación, entonces la función inversa puede resolverse analíticamente.

Entonces, para encontrar su radio de curvatura para un tiempo dado$t$primero encuentre el factor de escala correspondiente$a$, insértelo en las ecuaciones para$H$y$\Omega_k$y calcular$R_k$.

La distancia de ti mismo a ti mismo es la circunferencia.$C=2 \pi R_k$y el volumen propio del espacio cerrado es el área de la hiperesfera correspondiente$V=2 \pi^2 r^3$