Encuentra la derivada de cos(x2+1)cos⁡(x2+1)\cos(x^2+1) por el primer principio de la derivada.

La pregunta de mi libro de texto requiere encontrar la derivada de la siguiente función con respecto a$x$por el primer principio de derivada (o por la definición de derivada).

$$f(x) = \cos(x^2 + 1)$$

Simplemente diferenciándolo con respecto a$x$usando la regla de la cadena, obtenemos

$f'(x) = -2x \sin(x^2 + 1) \tag 1$

Así es como traté de resolver el problema:

$$f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \frac{\cos[(x+h)^2 + 1] - \cos(x^2 + 1)}h$$

Usando la identidad trigonométrica$\cos A - \cos B = -2\sin(\frac{A+B}2)\sin(\frac{A-B}2)$obtenemos:

$$f'(x) = -2 \lim \limits_{h \to 0} \left[ \Big( \sin[(x^2 + 1) + h(x+ \frac h2)] \Big) \left( \frac{\sin[hx + \frac {h^2}2]}h \right) \right]$$

Sustituyendo$h$por$0$en el primer término del límite obtenemos:

$f'(x) = -2 \sin(x^2 + 1) \lim \limits_{h \to 0} \frac{\sin[hx + \frac {h^2}2]}h \tag 2$

Hasta ahí pude resolver.

Ahora, comparando ecuaciones$(1)$y$(2)$Observo que todo lo que queda por hacer es probar:

$$\lim \limits_{h \to 0} \frac{\sin[hx + \frac {h^2}2]}h = x$$

Esto es precisamente lo que no puedo hacer. Puedes ayudarme a probar la ecuación anterior o simplemente decirme otra forma de resolver el problema. Cualquier ayuda sería apreciada.