Tengo un problema al derivar la conservación de la energía a partir de la invariancia de traducción del tiempo. La invariancia del Lagrangiano bajo desplazamientos de tiempo infinitesimales Se puede escribir como
Reiterando la respuesta de pppqqq, su error está justo al principio donde establece . El Lagrangiano no es una constante de movimiento, por lo que esta ecuación es falaz.
En cambio, quieres
que asume .
Cuando aplicas la ecuación de Euler-Lagrange, obtienes
que está a solo un pequeño paso de álgebra de mostrar que el hamiltoniano se conserva.
Su derivación original simplemente muestra que si el Lagrangiano es independiente del tiempo y si también es una constante de movimiento, entonces es también una constante de movimiento.
I) En primer lugar, mencionamos que el Teorema de Noether (en su forma original) se refiere a una simetría de la acción , no necesariamente el lagrangiano . La noción relevante para el Lagrangiano es cuasi-simetría, cf. esta respuesta Phys.SE.
II) En segundo lugar, asumimos que
Nos gustaría usar el teorema de Noether para demostrar que la función de energía
luego se conserva en la cáscara
III) Es evidente a partir de la primera ecuación de OP que está considerando una traducción de tiempo puro infinitesimal
(Las palabras horizontal y vertical se refieren a la traducción en el dirección y la direcciones, respectivamente). También tenga en cuenta que hemos cambiado el signo en frente de para mayor comodidad posterior. Una traslación de tiempo puro (A) en general no es una simetría del Lagrangiano
La explicación completa de por qué la transformación horizontal pura (A)-(C) no puede usarse para probar la conservación de la energía se da en la Sección VI a continuación. Pero primero mostramos otras dos transformaciones que funcionan en las próximas Secciones IV y V.
IV) Si cambiamos el tiempo (A), los valores de y en general también cambiará. En otras palabras, debemos introducir una variación vertical compensatoria (B'), para que la variación total (C') de las posiciones generalizadas sea cero:
La transformación (A') - (C') es una simetría del Lagrangiano:
donde en la última igualdad usamos que el Lagrangiano no tiene una dependencia temporal explícita.
Usando la fórmula estándar mencionada en Wikipedia , la corriente (desnuda) de Noether (multiplicada con ) se convierte en la energía (multiplicada por )
como queríamos mostrar.
V) Alternativamente, como se hace en el Ejemplo 1 en Wikipedia , podemos considerar una transformación infinitesimal puramente vertical
La transformación (A'') - (C'') es una cuasi-simetría del Lagrangiano:
donde en la última igualdad usamos que el Lagrangiano no tiene una dependencia temporal explícita.
La corriente (desnuda) de Noether (multiplicada por ) se convierte
La corriente de Noether debe corregirse debido a la aparición de la derivada de tiempo total en la ec. (D''). La corriente total de Noether se convierte en la función de energía.
como queríamos mostrar.
VI) Finalmente, volvamos a la transformación horizontal pura de OP (A)-(C). Si bien no es una simetría, sigue siendo una cuasi-simetría del Lagrangiano , cf. ec. (D). La corriente (desnuda) de Noether (multiplicada por ) se convierte
La corriente de Noether debe corregirse debido a la aparición de la derivada de tiempo total en la ec. (D). La corriente total de Noether se vuelve cero:
En otras palabras, ¡la ley de conservación correspondiente es una trivialidad! Esto se debe a que nunca usamos en la ec. (D) el hecho no trivial (1) de que el Lagrangiano no tiene una dependencia temporal explícita.
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La función de energía en el formalismo lagrangiano corresponde al hamiltoniano en el formalismo hamiltoniano .
Esta es la forma correcta de entender esto (no es que sea parcial ni nada). Permítanme comenzar diciendo que estoy de acuerdo con otros que señalan que en este caso, pero me gustaría demostrar por qué de una manera convincente. Espero que la forma en que presente la resolución sea clara. Seré matemáticamente preciso, pero no me preocuparé por ciertos supuestos técnicos como los grados de diferenciabilidad de las funciones involucradas.
Generalidades.
Para que podamos estar absolutamente seguros de que no hay confusión, permítanme revisar algunas notaciones y definiciones.
deja un camino en el espacio de configuración se dará. Dejar ser una deformación de un parámetro de con . Definimos la variación de y su derivado con respecto a esta deformación como sigue:
Mecánica Lagrangiana - Regla de conmutatividad
Ahora supongamos que un lagrangiano que es local en y se da, entonces para un camino dado definimos su variación con respecto a la deformación como sigue:
Para cada simetría del Lagrangiano, la cantidad
se conserva para todos satisfaciendo las ecuaciones de Euler-Lagrange.
Simetría de traducción del tiempo.
Consideramos la deformación
Si , entonces la traslación del tiempo es una simetría de donde la funcion está simplemente dada por el propio Lagrangiano.
El teorema de Noether nos dice entonces que hay una carga conservada;
Creo que el problema está en la primera línea: la invariancia para el desplazamiento de tiempo finito es
No estoy seguro de qué significa el término "desplazamiento de tiempo infinitesimal". Si es una transformación de un parámetro del espacio de configuración, entonces la condición
Intentaré responder a la pregunta "¿cómo podemos ver que la energía emerge naturalmente de la simetría de traducción del tiempo?" en el único sentido que puedo entender, es decir, "¿puede verse la energía como una carga de Noether?". Alerta: la prueba está desordenada.
Recordemos la definición de la carga de Noether asociada a un grupo de simetrías de 1 parámetro :
Tal como está, el teorema se establece para un lagrangiano autónomo, es decir, no dependiente del tiempo. Para ver la energía emerger naturalmente como una carga de Noether, en el libro de Arnold se indica un enfoque que es el siguiente.
Si es el espacio de configuración y es el lagrangiano espurio (es decir, no autónomo), defina el espacio de configuración generalizado como . Definir el Lagrangiano en :
Entonces podemos aplicar el teorema de Noether a . Tenga en cuenta que , asi que admite traducciones temporales si lo hace. Finalmente, el cargo de Noether relacionado con la traducción del tiempo es:
Ok, por tus comentarios, entiendo que ya sabes cómo derivar el teorema de Noether (?), Lo que significa que la corriente de Noether:
Ahora, tenga en cuenta que el hamiltoniano se define como:
Ahora, consideremos un Lagrangiano que no depende explícitamente del tiempo, es decir . Posteriormente, consideramos una traslación de tiempo:
Pero desafortunadamente este no es el hamiltoniano. Este cálculo debería producir
Pero no puedo encontrar ninguna razón por qué y cómo el extra debe emerger Puedo ver que este término se puede escribir en el lugar donde está escrito porque tenemos y por lo tantoY entonces la ecuación deseada solo diría . Cualquier idea de dónde cometí un error sería muy apreciada.
No cometiste un error. Toma tu ecuación final:
Utilice la definición de impulso:
Y encontrar:
Su debe escribirse como , así que tienes:
Cancelar épsilon desde ambos lados:
Mueva el término LHS al RHS:
esto dice que se conserva Es decir, el hamiltoniano/energía se conserva, que es exactamente lo que intentabas probar.
Jak
Cazador
Jak
qmecanico