¿Cómo es posible variar el tiempo sin afectar las coordenadas o sus derivadas?

En el contexto del teorema de Noether, el hamiltoniano es la constante de movimiento asociada con la invariancia traslacional en el tiempo del lagrangiano. La invariancia traslacional en el tiempo es equivalente al Lagrangiano que no depende explícitamente del tiempo que es

∂ L ∂ t = 0 .

La razón por la que son equivalentes es que para una traducción de tiempo infinitesimal, podemos aproximar el Lagrangiano como la expansión de primer orden de su serie de Taylor, es decir

d L ≡ L ( q , q ˙ , t + ϵ ) − L ( q , q ˙ , t ) = ∂ L ∂ t ϵ
lo que es correcto

pero no debería t ↦ t + ϵ inducir q ( t ) ↦ q ( t + ϵ ) y q ˙ ( t ) ↦ q ˙ ( t + ϵ ) ? y si ese es el caso entonces

d L ≡ L ( q ( t + ϵ ) , q ˙ ( t + ϵ ) , t + ϵ ) − L ( q , q ˙ , t ) = ∂ L ∂ t ϵ + ∂ L ∂ q ϵ + ∂ L ∂ q ˙ ϵ
 el equivocado

De modo que un lagrangiano es invariante en el tiempo si y solo si no depende explícitamente de q , q ˙ y t lo cual no tiene sentido. Entonces, ¿cómo es posible variar el tiempo sin afectar las coordenadas o sus derivadas que son en sí mismas funciones del tiempo?

Respuestas (1)

Dejar t → t + ε ser una variación explícita en la variable tiempo, que a su vez se refleja en q → q + d q y v → v + d v , respectivamente (como usted señaló).

Dejar L ( q , v , t ) sea ​​la función lagrangiana que sufre la variación

d L ( q , v , t ) = ∂ L ∂ q d q + ∂ L ∂ v d v + ∂ L ∂ t d t
bajo la mencionada transformación temporal, por definición de variación.

Sobre la solución de la ecuación de movimiento (y sólo allí) se tiene

d v = d ( d q )
a saber, la variación conmuta con la derivada del tiempo; por lo tanto lo anterior se convierte en
d L ( q , v , t ) = ∂ L ∂ q d q + ∂ L ∂ v d ( d q ) + ∂ L ∂ t d t   .
Aplicando la regla de Leibniz a la segunda contribución y usando la ecuación de movimiento (sobre cuya solución decidimos ser) se termina con
d L ( q , v , t ) = d ( ∂ L ∂ v d q ) + ∂ L ∂ t d t   .
Por hipótesis, el lagrangiano es tal que tiene límites fijos bajo variaciones, por lo que la primera contribución en lo anterior se desvanece y la restante prueba el resultado.

El error en su cálculo fue que consideró d q , d v ser ambos ε , pero no lo son.

Seguí todo su argumento excepto "Por hipótesis, el Lagrangiano es tal que tiene límites fijos bajo variaciones, por lo que la primera contribución en lo anterior desaparece y la restante prueba el resultado". No entiendo esto, ¿puedes explicarlo?
@AngusTheMan Después de pensarlo un rato, nuevamente no estoy convencido. Entonces d q ( t ) es q ( t + ϵ ) − q ( t ) tal que d q ( t 0 ) = q ( t F ) = 0 . Estoy de acuerdo en que usar la ecuación EL es equivalente a usar el principio de Hamilton. Pero como esto implica d ( ∂ L ∂ v d q ) =0, me parece que la última condición se cumple si y solo si d q ( t ) = 0 para cualquier t Que no es el caso. Este último término sólo se desvanecerá en d q ( t 0 ) o d q ( t F ) pero no por ninguna arbitrariedad t . Entonces, ¿puedes aclarar mi confusión?
@AngusTheMan
∂ L ∂ q ˙ d q | 2 − ∂ L ∂ q ˙ d q | 1 = 0
Pero que esta ecuación desaparezca se sigue del hecho de que d q ( 1 ) = d q ( 2 ) = 0 . por lo tanto, esto no implica que este término sea una función constante del tiempo, ¿verdad?
Aplicar el principio de Hamilton es lo mismo que usar EL, y dado que usamos la ecuación EL, se sigue (del principio de Hamilton) que d q ( 1 ) = d q ( 2 ) = 0 , así que no entiendo cómo puedes suponer d q ( i ) ser arbitrario. ¿Me puede ayudar con eso?
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