Energía total en sistemas reonómicos

Question

Energía total en sistemas reonómicos

DS08

Estoy leyendo Lanczos Variational Principles of Mechanics p.124, y siguiendo una discusión sobre cómo para los sistemas escleronómicos obtenemos

\begin{matrix} (53.12) & \sum_{i = 1}^{norte} {pag}_{i} {\dot{q}}_{i} - L = C o norte s t . \end{matrix}

$\sum_{i=1}^{n} p_i\dot q_i - L = const.\tag{53.12}$

Para los sistemas reonómicos se establece que

\begin{matrix} (53.22) & d L = d L - \frac{\partial L}{\partial t} d t = ϵ (\dot{L} - \frac{\partial L}{\partial t}) \end{matrix}

$\delta L=dL-\frac{\partial L}{\partial t}dt = \epsilon\left(\dot L -\frac{\partial L}{\partial t}\right)\tag{53.22}$ dónde

ϵ = d t

$\epsilon=dt$ , lo que lleva a

\begin{matrix} (53.23) & {[\sum_{i = 1}^{norte} {pag}_{i} {\dot{q}}_{i} - L]}_{t_{1}}^{t_{2}} = - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial L}{\partial t} d t \end{matrix}

$\left[\sum_{i=1}^{n} p_i\dot q_i - L\right]^{t_2}_{t_1} = -\int^{t_2}_{t_1} \frac{\partial L}{\partial t} dt\tag{53.23}$

Sin embargo, cuando hago la variación

d \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t = ϵ \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\dot{L} - \frac{\partial L}{\partial t}) d t = ϵ L |_{t_{1}}^{t_{2}} - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial L}{\partial t} d t

$\delta\int_{t_1}^{t_2} L~dt= \epsilon\int_{t_1}^{t_2} \left(\dot L -\frac{\partial L}{\partial t}\right)dt = \epsilon L|_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial t}dt$

estoy recibiendo un extra $\epsilon L|_{t_1}^{t_2}$ ¿término? ¡Cualquier idea sobre lo que falta sería muy apreciada!

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/94381/2451 y enlaces allí.

DS08

Esa pregunta es para los sistemas escleronómicos (independientes del tiempo) en los que obtenemos la conservación de la energía. Esta pregunta se trata de derivar el equivalente reonómico

mike piedra

¿No se supone que debemos hacer

ϵ

$\epsilon$ depender de

t

$t$ y desaparecer en los puntos finales?

DS08

Eso es para derivar las ecuaciones generales de movimiento de

δ \int L d t = 0

$\delta \int Ldt =0$

Respuestas (1)

Energía total en sistemas reonómicos

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/94381/2451 y enlaces allí.
Esa pregunta es para los sistemas escleronómicos (independientes del tiempo) en los que obtenemos la conservación de la energía. Esta pregunta se trata de derivar el equivalente reonómico
¿No se supone que debemos hacer $\epsilon$ depender de $t$ y desaparecer en los puntos finales?
Eso es para derivar las ecuaciones generales de movimiento de $\delta \int Ldt =0$

qmecanico · Answer 1

Bueno, Lanczos usa las transformaciones infinitesimales

\begin{matrix} (A'') & t^{'} - t =: d t = 0, (sin variación horizontal) \end{matrix}

$t^{\prime} - t ~=:~\delta t ~=~0, \qquad \text{(no horizontal variation)}\tag{A''}$

\begin{matrix} (B'') & q^{' i} (t) - q^{i} (t) =: d_{0} q^{i} = ϵ \dot{q}, (variación vertical) \end{matrix}

$q^{\prime i}(t) - q^i(t)~=:~\delta_0 q^i ~=~\epsilon\dot{q}, \qquad \text{(vertical variation)}\tag{B''}$

\begin{matrix} (C'') & q^{' i} (t^{'}) - q^{i} (t) =: d q^{i} = ϵ \dot{q} . (variación completa), \end{matrix}

$q^{\prime i}(t^{\prime}) - q^i(t)~=:~\delta q^i ~=~\epsilon\dot{q}. \qquad \text{(full variation)},\tag{C''}$

cf. ec. (53.1). Se explica en la Sección V en mi respuesta Phys.SE aquí que

\begin{matrix} (D'') & d ({pag}_{i} ϵ {\dot{q}}^{i}) = d ({pag}_{i} d_{0} q^{i}) \approx d_{0} L = \frac{\partial L}{\partial q^{i}} d_{0} q^{i} + \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{i}} d_{0} {\dot{q}}^{i} = ϵ \frac{\partial L}{\partial q^{i}} {\dot{q}}^{i} + ϵ \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{i}} {\ddot{q}}^{i} = ϵ \frac{d L}{d t} - ϵ \frac{\partial L}{\partial t} . \end{matrix}

$d(p_i\epsilon\dot{q}^i)~=~d(p_i\delta_0q^i)~\approx~\delta_0 L ~=~\frac{\partial L}{\partial q^i }\delta_0 q^i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i }\delta_0 \dot{q}^i ~=~\epsilon\frac{\partial L}{\partial q^i }\dot{q}^i + \epsilon\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i } \ddot{q}^i ~=~ \epsilon\frac{dL}{dt}-\epsilon\frac{\partial L}{\partial t}. \tag{D''}$

El teorema de Noether entonces produce que la posible corriente de Noether desnuda, la corriente de Noether completa y la ley de conservación son

j = {pag}_{i} {\dot{q}}^{i},

$j~=~p_i\dot{q}^i,$

j = {pag}_{i} {\dot{q}}^{i} - L,

$J~=~p_i\dot{q}^i-L,$ y

\frac{d j}{d t} \approx - \frac{\partial L}{\partial t},

$\frac{dJ}{dt}~\approx~-\frac{\partial L}{\partial t},$ respectivamente,

Tan efectivamente el $\epsilon L|_{t_1}^{t_2}$ términos simplemente desaparecen?
No, ese término (que por cierto ya está presente en el caso escleronómico) hace que la corriente de Noether completa sea diferente de la corriente de Noether desnuda.
Oh, ya veo lo que está pasando. El lado izquierdo es igual a $\sum p_i \dot q_i |_{t1}^{t2}$ así que realmente solo tuve que agregar esos términos al lado izquierdo. Esto tiene sentido ahora. ¡Gracias!

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