¿Cuál es la lógica que conduce a la conservación de la energía a partir de la invariancia en el tiempo? [duplicar]

La independencia temporal de un hamiltoniano que describe un sistema (o un lagrangiano) no siempre significa que la energía se conserva. Por ejemplo, si describe un sistema en un marco de referencia no inercial (p. ej., un marco giratorio), incluso si hay invariancia en el tiempo (es decir, el hamiltoniano del sistema es independiente del tiempo), no habrá Conservacion de energia.

En mecánica clásica, en el formalismo hamiltoniano, el hamiltoniano de un sistema (la transformación de Legendre del lagrangiano en momentos canónicos) es el generador de evolución temporal. En general, si el hamiltoniano$H$(lo mismo para el Lagrangiano) no depende explícitamente del tiempo (es decir:$\frac{\partial H}{\partial t} = 0$) entonces$H$se conserva (es decir:$\frac{d H}{d t} = 0$). ¡Pero el hamiltoniano no siempre es igual a la energía de un sistema!

para asegurarse$H$es igual a la energía total del sistema, se deben cumplir las siguientes condiciones:

1. Las coordenadas del marco de referencia expresadas en términos de las coordenadas generalizadas (las coordenadas de posición del hamiltoniano) no deben depender del tiempo y,
2. El potencial no debe depender de las derivadas del tiempo total de las coordenadas generalizadas.

Cuando se cumplen esas condiciones, entonces$H=E$y si$\frac{\partial H}{\partial t} = 0$entonces$\frac{d H}{d t} = \frac{d E}{d t} = 0$por lo que la energía se conserva. Por supuesto, en la mayoría de los casos, tenemos que$H=E$pero no lo es en todos los casos. En conclusión: la invariancia en el tiempo no siempre significa conservación de energía.

Todo este formalismo está explícitamente definido matemáticamente y las demostraciones de estos teoremas son bastante engorrosas de escribir y vienen con algunas definiciones. Para más detalles, me referiría a un libro de mecánica clásica como el libro de Mecánica Clásica de Goldstein , que es una referencia estándar para este asunto.