Relación entre campo vectorial, generador y campo escalar en el teorema de Noether

Los elementos de su pregunta parecen un poco vagos, por lo que revisaré el teorema de Noether y consideraré un ejemplo. Con suerte, podemos abordar

Me pregunto "qué cantidad" se conserva en relación con una simetría específica

Utilizaremos geometría diferencial ya que OP formula su pregunta usando esta terminología.

Dejar$\phi$sea ​​la acción simpléctica de un grupo de Lie$G$en el colector de configuración$Q$. Podemos elevar esta acción al espacio de fase$T^*Q$como$\phi^{T^*}$. La acción tiene un$Ad^*$-mapeo de impulso equivalente dado por:

$$J:T^*Q\rightarrow \mathfrak g ^*; \ \hat J (\xi )(\alpha _q) = \alpha _q \cdot \xi _Q(q)\qquad \tag{1}$$ dónde $\xi_q$es el generador infinitesimal de $\phi$en $Q$para $\xi \in \mathfrak g$, $J$es el mapa de momento y $\hat J$es un homomorfismo del álgebra de Lie. Equivariante significa que el cociclo es cero. Dejar $X$ser un campo vectorial en $Q$, la cantidad de movimiento es entonces:

$$P(X):T^*Q\rightarrow \mathbb R ; \ \alpha_q \mapsto \alpha _q\cdot X(q)\tag{2}$$

y por lo tanto$\hat J(\xi) = P(\xi_q)$.

Como ejemplo dejemos$Q=\mathbb R^n`$,$G=\mathbb R^n`$,y deja$G$guiarse por$Q$por traducción:

$$\phi :G\times Q \rightarrow Q: (q',q)\mapsto q'+q$$

El generador infinitesimal es$\xi _Q (q) = \xi$y el mapa de cantidad de movimiento es:

$$\hat J(\xi)\cdot (q,p) = p\cdot \xi$$

Entonces$J$es el momento lineal.

Como otro ejemplo supongamos que$H$es invariante bajo la acción$\phi$:

$$H(x) = H(\phi_g(x)) \qquad \forall \ x\in (q,p), \ g \in G$$

entonces$J$es una integral para$X_H$. En otras palabras,$J$es invariante bajo el flujo de$X_H$.

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Resumir:

• teníamos un grupo de mentiras$G$y un álgebra de mentira$\xi \in \mathfrak g$. Exigimos que para cada$g\in G$la acción es simpléctica.

• presentamos el mapeo de impulso para la acción como un mapa$J$dónde$J : T^*Q\rightarrow \mathfrak g^*$siempre que$\forall \ \xi \in \mathfrak g$tenemos:

$$d\hat J(\xi) = \iota_{\xi_{T^*Q}}\omega$$

• en respuesta directa a su pregunta, bajo la acción simpléctica de$G$, el momento$J$es una integral del campo vectorial asociado a la función invariante.

No tengo tiempo ahora para verificar exactamente todas las sutilezas, sin embargo, lo siguiente debería responder a sus inquietudes.

Suponemos que un grupo de Lie$G$actúa sobre el colector de configuración de la izquierda, siendo la acción$G\times M\rightarrow M$. Que esto se denote como$(g,x)\mapsto gx\equiv l_g(x)$.

Es más conveniente trabajar con una acción correcta, así que$\rho_g:M\rightarrow M,\ \rho_g(x)=l_{g^{-1}}(x)$, que ahora es una acción correcta.

La acción de grupo finito también determina acciones infinitesimales. Si$A\in\mathfrak g$es un elemento del álgebra de Lie, entonces la transformación infinitesimal asociada con$A$es el campo vectorial$X_A$definido por

$$X_A|_x=\left.\frac{d}{d\epsilon}\rho_{\exp(\epsilon A)}(x)\right|_{\epsilon=0}.$$ Se puede comprobar que el mapa $A\mapsto X_A$es un homomorfismo del álgebra de Lie. Además, si la acción del grupo $\rho$es "fiel" en el sentido de que el mapa $G\mapsto\text{Diff}(M),\ g\mapsto\rho_g$es un homomorfismo de grupo inyectivo, entonces $A\mapsto X_A$es un homomorfismo de álgebra de Lie inyectivo, por lo tanto, si $T_a$( $a=1,...,\dim G=k$) son un conjunto de generadores para el álgebra de Lie $\mathfrak g$, y si $$[T_a,T_b]=C^c_{ab}T_c,$$ entonces $$[X_a,X_b]=C^c_{ab}X_c,$$ dónde $X_a:=X_{T_a}$.

Tenga en cuenta que el campo vectorial$X_A$es lo que uno escribiría como$\delta q^i$en notación más... tradicional.

Podemos hacer$G$guiarse por$TM$en lugar de$M$por prolongación tangente (no quiero entrar en muchos detalles aquí), por lo tanto, también hay transformaciones infinitesimales en$TM$, dado por un campo vectorial$\bar{X}_A$(que se define en$TM$, Opuesto a$M$).

El grupo$G$es un grupo de simetría infinitesimal para la acción, si bajo acciones infinitesimales (ej.$\bar{X}_A$), el Lagrangiano cambia por una derivada total:$\delta L=\mathcal L_{\bar{X}_A}L=\frac{d}{dt}K_A$.

Entonces, el cargo

$$Q_A=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}X_A^i-K_A$$ es una constante de movimiento.

Considerando que cualquier transformación infinitesimal (de$\mathfrak g$) es una simetría, podemos hacer esto para cada generador$T_a$, y obten$k$cargas conservadas

$$Q_a=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}X^i_a-K_a.$$

Las cargas son funciones en el espacio de fase de velocidad.$TM$. Sin embargo, puede usar la transformada de Legendre para reinterpretarlos como funciones en el espacio de fase de impulso .

Entonces, resulta que tenemos las siguientes relaciones de paréntesis de Poisson:

$$\{Q_a,Q_b\}=C^c_{ab}Q_c+c_{ab},$$ donde el álgebra de Poisson de las cargas $Q_a$se les permite tener cargos centrales $c_{ab}$que viajan con todos los generadores.

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En resumen, el álgebra de Lie del grupo de simetría$G$tenemos aquí tres realizaciones distintas.

• Una abstracta dada por los generadores abstractos.$T_a$.

• El álgebra de Lie de las transformaciones infinitesimales$X_A$'s (estas son las "variaciones" o "derivaciones" como se las llama a menudo).

• La subálgebra de Lie del álgebra de Poisson de las funciones de espacio de fase dada por el$k$cargas conservadas$Q_a$. Sin embargo, a éste se le permite tener un centro.

En su caso del momento angular, el grupo de simetría es$\text{SO}(3)$, el álgebra "abstracta" viene dada por las matrices generadoras de rotación habituales, el álgebra de "derivación" viene dada por tres campos vectoriales correspondientes a los generadores del álgebra a través de la acción de grupo (y estos son esencialmente los tres campos vectoriales Killing rotacionales de la métrica euclidiana ! ), y el álgebra de "Poisson" viene dada por las componentes del momento angular$L_i$, que son también las cargas conservadas.