Teorema de Noether y Lagrangianos dependientes del tiempo

El lagrangiano (y la acción en su conjunto)

$$L = \frac{1}{2}m \dot{q}^2 - \ln t$$

no es invariante bajo la transformación dada por

$$T = t, \qquad Q = 0.$$

El reescalado de$t$por factor$1+\epsilon$también modifica las derivadas temporales:$\delta \dot{q} = -\epsilon \dot{q}$(y la medida de integración$dt$), por lo que la cantidad sugerida no se conserva.

¿Dónde está mi error?

Entonces, el error está en elegir la transformación Lagrangiana / incorrecta.

El teorema de Noether funciona bien para lagrangianos explícitamente dependientes del tiempo. Aquí hay otro ejemplo de Lagrangiano con dependencia temporal explícita:

$$L = \frac{m \dot{q}^2}{2} e^{\alpha t}.$$ Este tipo de Lagrangiano podría surgir, por ejemplo, si tratamos de obtener las ecuaciones de movimiento para un sistema disipativo.

La ecuación de Euler-Lagrange para este sistema después de omitir el factor común se lee como

$$\ddot{q} = -\alpha \dot{q}.$$

Este Lagrangiano es invariante bajo la transformación infinitesimal:

$$t\to t' = t + \epsilon, \qquad q \to q' = q -\epsilon\frac{\alpha q}{2}.$$

Sustituyendo estos$T$y$Q$en el teorema de Noether obtenemos la cantidad

$$A=\frac{m }{2} e^{\alpha t}\cdot (\dot{q}^2 + \alpha \dot{q} q).$$

Su derivada temporal es

$$\dot{A} = \frac{m }{2} e^{\alpha t}\cdot (\alpha \dot{q}^2 + \alpha^2 \dot{q} q +2 \ddot{q}\dot{q} + \alpha \ddot{q} q + \alpha \dot{q}^2) ,$$ Si usamos la ecuación EL para eliminar $\ddot{q}$obtenemos $\dot{A}=0$, por lo que la cantidad se conserva como debe ser.

Veamos cómo podemos jugar con el teorema de Noether en el ejemplo de "conservación de la energía".

En primer lugar, aplicamos una variación independiente del tiempo al Lagrangiano,

$$\begin{equation} t \rightarrow t+ \epsilon \end{equation}$$ Para un Lagrangiano general, cambiará $$\begin{equation} L(x(t), \dot{x}(t), t)\rightarrow L'(x(t), \dot{x}(t), t ) = L(x(t), \dot{x}(t), t-\epsilon ) \end{equation}$$ lo que requerimos en este caso es que el lagrangiano sea invariante (no solo covariante) como escalar, $$\begin{equation} L=L' \implies \frac{\partial L}{\partial t} = 0 \end{equation}$$ Esa es una propiedad verdadera solo en cualquier camino.

Entonces usamos una variación dependiente del tiempo inducida ,

$$\begin{equation} t \rightarrow t+ \epsilon(t) \quad x(t) \rightarrow x(t) + \epsilon(t) \dot{x(t)} \end{equation}$$ El cambio de la acción en este caso es $$\begin{equation} \delta S = \int_0 ^T \frac{\partial L }{\partial x} \dot{x(t)} \epsilon(t) + \frac{\partial L } {\partial \dot{x} } \frac{d}{dt}(\epsilon(t) \dot{x}(t)) = \int_0^T dt \epsilon(t) ( \frac{\partial L }{\partial x} \dot{x} + \frac{\partial L } {\partial \dot{x} } \ddot{x} ) + \frac{\partial L } {\partial \dot{x} } \dot{x} \dot{\epsilon} \end{equation}$$ ahora agregando $\frac{\partial L}{\partial t}=0$a los dos primeros términos entre paréntesis para convertirlo en una derivada total, ya que esto es cierto para todos los caminos en el espacio de configuración. Para el segundo término, integramos por partes para obtener (la variación tiene condiciones de contorno cero), $$\begin{equation} \delta S = \int_0^T dt \epsilon(t) \frac{d}{dt}(L - \frac{\partial L } {\partial \dot{x} } \dot{x}) \end{equation}$$ Solo el camino clásico, cualquier variación extremará la acción; en particular nuestra variación especial $\epsilon(t)$inducida por la voluntad de acción de simetría. Obtenemos la ecuación de conservación de energía, $$\begin{equation} \frac{d}{dt}(L - \frac{\partial L } {\partial \dot{x} } \dot{x}) = 0 \quad \text{along classical path} \end{equation}$$

En otras palabras, tienes que elegir$T$y$Q$ser constante (independiente del tiempo) para desenterrar las simetrías del Lagrangiano. Luego puede aplicar la variación dependiente del tiempo para obtener una "ecuación de movimiento" especial a lo largo del camino clásico: ley de conservación .

Necesito elaborar la ecuación de simetría que he derivado.

Bajo una variación independiente del tiempo, decimos que Lagrangian realmente cambia

$$\begin{equation} L' = L(x(t-\epsilon), \dot{x}(t-\epsilon), t-\epsilon ) \end{equation}$$ Esto se debe a una identidad, $$\begin{equation} L(x(t),\dot{x}(t),t) = L'(t') \quad t'=t+\epsilon \end{equation}$$ Eso significa que el valor de Lagrangian de un punto en el espacio de configuración es independiente de la coordenada de tiempo que lo describe. Es como si pudieras usar diferentes zonas horarias para describir un evento. Sólo se diferencian por una constante.

Sin embargo, esto no es cierto si aplicamos una variación dependiente del tiempo,

$$\begin{equation} \frac{d}{dt}(x(t-\epsilon)) = \frac{d}{dt}( x(t) - \epsilon \dot{x}(t) ) = \dot{x}(t) - \dot{\epsilon}\dot{x(t)} - \epsilon \ddot{x}(t) \ne \dot{x}(t) - \epsilon \ddot{x}(t) = \dot{x}(\tau)|_{\tau = t-\epsilon} \end{equation}$$ la variación dependiente del tiempo obliga a la velocidad a cambiar de otra manera diferente a la que nos gusta. Es como si el tiempo no fluyera uniformemente, de modo que incluso si desplazas tu vector de velocidad al punto original antes de la traducción, aún cambia, porque la tasa dependerá de cómo fluya el tiempo.

En el aspecto técnico, tu variación no puede conducir a

$$\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial t} = 0 \end{equation}$$ que es equivalente a la ley de conservación.