No es "mal gusto", es incalculable hasta el punto de la falta de sentido.

El objetivo del análisis dimensional es que hay algunas cantidades que no son comparables entre sí: no se puede decidir si un metro es más grande o más pequeño que diez amperios, y tratar de sumar cinco voltios a diez kelvin solo producirá una tontería inoperable. . (Para obtener detalles sobre por qué, consulte ¿Qué justifica el análisis dimensional? y sus muchos duplicados vinculados en la barra lateral de la derecha).

Esto es precisamente lo que sucede con, digamos, la función exponencial: si quisieras la exponencial de un metro, entonces tendrías que ser capaz de dar sentido a

$$\exp(1\:\rm m) = 1 + (1\:\rm m) + \frac12(1\:\rm m)^2 + \frac{1}{3!}(1\:\rm m)^3 + \cdots,$$ y eso requiere que puedas sumar y comparar longitudes con áreas, volúmenes y otras potencias de posición. Puede intentar simplemente recortar las unidades y lidiar con eso, pero tenga en cuenta que debe coincidir, exactamente , con el equivalente $$\exp(100\:\rm cm) = 1 + (100\:\rm cm) + \frac12(100\:\rm cm)^2 + \frac{1}{3!}(100\:\rm cm)^3 + \cdots,$$ y simplemente no hay una forma invariable de hacerlo.

Ahora, para que quede claro, el problema es mucho más profundo que eso: el problema real con$\exp(1\:\rm m)$es que simplemente no hay una manera significativa de definirlo de una manera que (i) sea independiente del sistema de unidades, y (ii) mantenga un conjunto de propiedades que realmente le valdrán el nombre de exponencial. Si lo que uno quiere es una forma simple y clara de verlo, un buen ángulo es señalar que, si uno tuviera que definir$\exp(x)$por$x$con dimensión no trivial, entonces, entre otras cosas, le pediría que obedezca la propiedad

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\exp(x)=\exp(x),$$ que es dimensionalmente inconsistente si $x$(y por lo tanto $\mathrm d/\mathrm dx$) no es adimensional.

También se ha señalado en los comentarios, y de hecho en un artículo publicado , que de hecho puede tener series de Taylor sobre cantidades dimensionales, simplemente configurando$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \frac{\mathrm d^nf}{\mathrm dx^n}(0)x^n$, y eso es bastante cierto. Sin embargo, para las funciones trascendentales no queremos ninguna serie de Taylor antigua, queremos las canónicas: a menudo son la definición de las funciones para empezar, y si alguien propusiera una definición de, digamos$\sin(x)$para dimensional$x$, entonces, a menos que pueda vincularse con la serie canónica de Taylor, simplemente no vale la pena el nombre. Y, como se explicó anteriormente, las series canónicas de Taylor tienen problemas de escala fundamentales que las hacen muertas en el agua.

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Dicho esto, para los logaritmos se puede en determinadas ocasiones muy concretas hablar del logaritmo de una cantidad dimensional$q$, pero básicamente estás tomando algún representante$q_0$y calculando

$$\log(q/q_0)=\log(q)-\log(q_0),$$ donde para dar sentido a este último requieres que los dos valores numéricos estén en las mismas unidades, en cuyo caso la respuesta final es independiente de la unidad en sí. Si la situación también le permite eliminar constantes aditivas o incorporarlas en otra cosa (como al resolver ODE, por ejemplo, con un caso representativo que es el potencial electrostático de una carga de línea infinita , o al hacer gráficos en escala logarítmica), entonces podrías deshacerte de la $\log(q_0)$en el entendimiento de que saldrá en el lavado cuando vuelvas a puntear las i.

Sin embargo, solo porque se puede hacer en el caso específico del logaritmo, que es único en convertir constantes multiplicativas en aditivas, no significa que se pueda usar en otros contextos, y no se puede.

vista ortodoxa

Un poco de una toma formal en él:$\exp x$se puede expresar como una serie:

$$\exp x=1 + x +\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots$$

Así que si$x$tiene unidad$X$, entonces los términos de esta serie tienen unidades respectivas

$$\text{None}, X, X^2, X^3, \cdots X^n, \cdots$$

que no es dimensionalmente consistente. El mismo argumento para$\ln$o para cualquier función analítica (es decir, una función que puede expandirse en tal serie). Esto se aplicaría también a algo tan simple como

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots.$$

En realidad, uno ni siquiera necesita toda la serie. Solo dos términos de una expansión de Taylor son suficientes para forzar que la variable sea adimensional. Por ejemplo si una función$f(x)$va como

$$f(x) = x - x^2 + O(x^3),$$

como$x$va a 0 por ejemplo, entonces$x$no puede tener una dimensión$X$, de lo contrario uno terminaría agregando$X$y$X^2$. Esto se aplica, por supuesto, también a las series asintóticas, como

$$f(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} + O\left(\frac{1}{x^4}\right),$$

como$x\to+\infty$.

Jugando alrededor de la ortodoxia

¿Qué pasa con el siguiente argumento? Tomaré un ejemplo muy simple, que no implica ninguna serie en absoluto,

$$f(x) = x + x^2.$$

El argumento ortodoxo anterior implica que$x$será adimensional. Pero voy a argumentar que los coeficientes 1 de$x$y$x^2$en realidad tienen dimensión$X^{-1}Y$y$X^{-2}Y$, dónde$X$es la unidad de$x$, y$Y$se convertiría entonces en la unidad de$f(x)$. Hace que todo sea consistente, ¿no es así? Sí, pero es una parodia porque significa que en lugar de$f(x)$en realidad tratamos con

$$f_\text{pseudo}(x) = a\left(\frac{x}{x_0}+\left(\frac{x}{x_0}\right)^2\right),$$

dónde$x_0$tiene unidad$X$y$a$tiene unidad$Y$, es decir

$$f_\text{pseudo}(x) = af\left(\frac{x}{x_0}\right).$$

Y aquí está: el argumento de$f$es de hecho adimensional! El argumento se generaliza a cualquier serie. Veamos exponencial como una ilustración:

$$\exp x = \sum_{i=0}^n \frac{1}{n!}x^n.$$

Entonces el argumento sería entonces que$1/n!$tiene unidad$X^{-n}$Realmente. Bastante justo, pero luego en lugar de$\exp$, significa que tratamos con

$$\exp_\text{pseudo}(x) = a\sum_{i=0}^n \frac{1}{n!}\left(\frac{x}{x_0}\right)^n,$$

dónde$x_0$tiene la dimensión$X$, y donde ahora$1/n!$es adimensional, y como arriba$a$tiene alguna dimensión$Y$. es decir que

$$\exp_\text{pseudo}(x) = a\exp\frac{x}{x_0}.$$

Así que terminamos con el argumento de$\exp$siendo adimensional.

Mi opinión visceral sobre este pequeño juego: ¡bueno, duh! Todo eso por eso, ¿en serio? Además, como lo señaló Emilio Pisanty en los comentarios, requiere que arranquemos una escala$x_0$(y otra escala mas$a$potencialmente) desde el cielo: el punto central del análisis dimensional es que hemos tenido en cuenta todas las cantidades dimensionales posibles de antemano. Aquí introducimos otro después del hecho y no tiene sentido ni para Emilio ni para mí.

La razón por la que su instructor lo llamó 'mal gusto' en lugar de simplemente incorrecto es porque la gente hará esto todo el tiempo con el logaritmo. El logaritmo es único porque te permite dividir factores multiplicativos en términos aditivos, por lo que la gente escribirá algo como

$$\log(r/r_0) = \log(r) - \log(r_0) = \log(r) + C.$$ La forma más común de hacer esto accidentalmente es a través de una integral, $$\int \frac{\mathrm dr}{r} "=" \log r + C.$$ Esto es técnicamente incorrecto, pero casi todo el mundo lo escribe de esta manera. Al final del día, siempre puedes combinar las constantes en el logaritmo para que los argumentos tengan las dimensiones correctas.

Las otras respuestas son correctas, cuando piensas en términos de análisis de unidades, no puedes sumar cantidades que tienen diferentes unidades entre sí. Aun así, formalmente siempre puedes hacer algo como

$$f\left(\frac{x}{1\operatorname{m}}\right)$$ para obtener algo que funcione, matemáticamente.

Donde se convierte en mal gusto/mala práctica es que tú mismo introdujiste ese denominador a mano. En cualquier problema físico que requiera que evalúes alguna función complicada, como$\sin$,$\ln$, o$\exp$, siempre habrá alguna cantidad físicamente relevante con las mismas unidades que te permitirá formar una cantidad sin unidades. Por ejemplo, al trabajar con el oscilador armónico simple podemos combinar la constante del resorte,$k$, y la masa,$m$, para producir una cantidad con las unidades de tiempo inverso,$\omega \equiv \sqrt{k/m}$. Eso es$\omega$que nos permite escribir con sensatez$x=A\sin(\omega t)$para describir el movimiento del oscilador.

Preparé deliberadamente algo que decía así:

f lbs = puente mV / 2 ^{x log ₂ mV / lbs}

Sí, eso funciona. El 2 es obviamente una constante adimensional* por lo que la unidad realmente tiene que ir en la x.

Es una especie de mala forma, ya que los cambios realmente pequeños en x corresponden a cambios realmente grandes en el resultado o, de lo contrario, es difícil tener una idea de lo que van a hacer los números.

*Cuando la fórmula se presenta en su forma nativa el 2 no existe; solo aparece al reescribirlo en forma estándar.

Mi forma de ver es que la mayoría de las unidades actúan como incógnitas multiplicativas. Es decir, podemos imaginar que hay una unidad natural (posiblemente desconocida) para la cantidad y la unidad es un factor de escala (posiblemente desconocido) que convierte nuestra unidad humana en la unidad natural. Para hacer una fórmula consistente, queremos que todas esas incógnitas se cancelen. Los físicos consideran que las unidades que no actúan como incógnitas multiplicativas (por ejemplo, Celsius y Fahrenheit) son de mal gusto.

Entonces, la pregunta es qué hacen las diferentes funciones con una incógnita multiplicativa. Consideremos la función simple de elevar el número a una potencia.

$F(x) = x^n -> F(xu) = F(x)F(u)$

Genial, tuvimos una unidad de buen gusto que entró y salió una unidad de buen gusto.

Ahora veamos el logaritmo.

$F(x) = log_n(x) -> F(xu) = F(x) + F(u)$

Este resultado no es una "unidad de buen gusto", ya que es una incógnita aditiva en lugar de una incógnita multiplicativa, pero no es terrible trabajar con ella. En muchas circunstancias podemos cancelar la F(u) y llegar a una fórmula consistente. De hecho, los ingenieros a menudo usan el logaritmo de esta manera.

Ahora echemos un vistazo a la exponencial.

$F(x) = n^x -> F(xu) = (F(x))^u$

ick, supongo que en algunos casos puede ser posible cancelar la energía, pero es bastante horrible de manejar.