¿Cuáles son las unidades o dimensiones de la función delta de Dirac?

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¿Cuáles son las unidades o dimensiones de la función delta de Dirac?

unidades
Física
electrostática
análisis dimensional
distribuciones-dirac-delta

Andrés

En tres dimensiones, la función delta de Dirac $\delta^3 (\textbf{r}) = \delta(x) \delta(y) \delta(z)$ se define por la integral de volumen:

\int_{todo el espacio} d^{3} (r) d V = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} d (X) d (y) d (z) d X d y d z = 1

$\int_{\text{all space}} \delta^3 (\textbf{r}) \, dV = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \delta(y) \delta(z) \, dx \, dy \, dz = 1$

dónde

d (X) = 0 si X \neq 0

$\delta(x) = 0 \text{ if } x \neq 0$

y

d (X) = \infty si X = 0

$\delta(x) = \infty \text{ if } x = 0$

y de manera similar para $\delta(y)$ y $\delta(z)$ .

¿Significa esto que $\delta^3 (\textbf{r})$ tiene dimensiones de volumen recíproco?

Como ejemplo, un libro de texto que estoy leyendo dice:

Para una colección de $N$ cargas puntuales podemos definir una densidad de carga

$ρ (r) = \sum_{i = 1}^{norte} q_{i} d (r - r_{i})$ $\rho(\textbf{r}) = \sum_{i=1}^N q_i \delta(\textbf{r} - \textbf{r}_i)$

dónde $\textbf{r}_i$ y $q_i$ son la posición y la carga de la partícula $i$ , respectivamente.

Por lo general, pensaría que la densidad de carga tiene unidades de carga por volumen en tres dimensiones: $(\text{volume})^{-1}$ . Por ejemplo, yo pensaría que las unidades de $\frac{\text{C}}{\text{m}^3}$ podrían ser posibles unidades SI de densidad de carga. Si mi suposición es cierta, entonces $\delta^3 (\textbf{r})$ debe tener unidades de $(\text{volume})^{-1}$ , me gusta $\text{m}^{-3}$ por ejemplo. ¿Es esto correcto?

usuario10851

Siempre y cuando pida detalles sobre el

δ

$\delta$ -función, me siento obligado a señalar que hay todo tipo de advertencias al decir

δ (0) = \infty

$\delta(0) = \infty$ . Si bien esto puede ayudar a la intuición física, matemáticamente la interpretación más natural de esa ecuación aún dejaría la integral como cero, ya que (Lebesgue) las integrales nunca dependen del valor de un solo punto. Probablemente sea mejor pensar en él como un objeto con las propiedades de integración apropiadas.

mi ser

Siguiendo esta discusión, ¿cuáles son las dimensiones de la función de "paso" de Heaviside?

usuario45664

@Udi Behar para el paso Heaviside ver physics.stackexchange.com/q/274380/45664

Respuestas (2)

¿Cuáles son las unidades o dimensiones de la función delta de Dirac?

Siempre y cuando pida detalles sobre el $\delta$ -función, me siento obligado a señalar que hay todo tipo de advertencias al decir $\delta(0) = \infty$ . Si bien esto puede ayudar a la intuición física, matemáticamente la interpretación más natural de esa ecuación aún dejaría la integral como cero, ya que (Lebesgue) las integrales nunca dependen del valor de un solo punto. Probablemente sea mejor pensar en él como un objeto con las propiedades de integración apropiadas.
Siguiendo esta discusión, ¿cuáles son las dimensiones de la función de "paso" de Heaviside?
@Udi Behar para el paso Heaviside ver physics.stackexchange.com/q/274380/45664

Diego Mazón · Answer 1

Sí. El delta de Dirac siempre tiene la dimensión inversa de su argumento. Puedes leer esto a partir de su definición, tu primera ecuación. Entonces en una dimensión $\delta(x)$ tiene dimensiones de longitud inversa, en tres dimensiones espaciales $\delta^{(3)}(\vec x)$ (a veces simplemente escrito $\delta(\vec x)$ ) tiene dimensión de volumen inverso, y en $n$ dimensiones del impulso $\delta^{(n)}(\vec p)$ tiene dimensiones de cantidad de movimiento inversa a la potencia de $n$ .

Física_matemáticas · Answer 2

Dejar $x$ ser adimensional y usar la propiedad $\delta (ax)=\frac{1}{|a|}\delta (x)$ vemos que, de hecho, la dimensión de un delta de Dirac es la dimensión de la inversa de su argumento.

Un ejemplo recurrente es, por ejemplo, $\delta(p'-p)$ dónde $p$ denota impulso, este delta tiene una dimensión de masa inversa en unidades naturales.

¿Cuáles son las unidades o dimensiones de la función delta de Dirac?

Andrés

usuario10851

mi ser

usuario45664

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Diego Mazón

Física_matemáticas

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