¿El número 1 es una unidad?

Esto es análogo a la definición de un producto vacío en matemáticas. Para un conjunto finito no vacío$S=\{s_1,\ldots,s_n\}$, el producto terminado$S$Puede ser definido como

$$\prod_{s\in S}s=s_1\times \cdots\times s_n.$$ Para tal producto, desearía que las uniones disjuntas se mapearan en productos: si $R\cap S=\emptyset$, entonces quieres $\prod_{x\in R\cup S}x=\left(\prod_{s\in S}s\right) \times \left(\prod_{r\in R}r\right)$, pero para que esto tenga sentido, debe poder manejar el conjunto vacío, y la única forma de hacer que las reglas sean consistentes es establecer $$\prod_{s\in\emptyset}s=1.$$ Básicamente, esto dice: si no hay nada que multiplicar, el resultado es uno . (Del mismo modo, las sumas vacías se definen como cero, por la misma razón). En el caso que nos ocupa, simplemente podría decir que si no hay unidades para multiplicar, entonces obtiene una . Como señala Luboš, esta es la única opción consistente e inofensiva , ya que multiplicar por uno no cambia la cantidad.

Además, esta intuición del producto vacío puede llevarse a una formalización completa de las dimensiones y unidades físicas como un espacio vectorial. Todo el trabajo está en esta respuesta mía , pero la idea esencial es que las cantidades físicas positivas forman un espacio vectorial sobre los racionales, donde la "suma" es la multiplicación de dos cantidades y la "multiplicación escalar" eleva la cantidad a una potencia racional. Este formalismo de espacio vectorial es precisamente la razón por la cual el análisis dimensional a menudo se reduce a un conjunto de ecuaciones lineales. Además, en este espacio vectorial el 'cero' es la cantidad física y la unidad$1$- ningún espacio vectorial tiene sentido a menos que$1$es a la vez una cantidad y una unidad.

En última instancia, por supuesto, se reduce a la convención, por lo que la gente puede simplemente decir "Voy a hacer esto de esta otra manera" y no estarán "equivocados" como tales. Sin embargo, en general, la forma consistente de asignar cosas es decir que las cantidades adimensionales tienen dimensión$1$(módulo cualquiera que sea la convención de corchetes que esté usando) y unidad$1$.

Para respaldar un poco esto, para aquellos que se preocupan por la orientación organizacional, el BIPM publica el Vocabulario internacional de metrología , que establece (§1.8, nota 1) que

El término "cantidad adimensional" se usa comúnmente y se mantiene aquí por razones históricas. Se deriva del hecho de que todos los exponentes son cero en la representación simbólica de la dimensión de tales cantidades. El término "cantidad de dimensión uno" refleja la convención en la que la representación simbólica de la dimensión para tales cantidades es el símbolo 1 (ver ISO 31-0:1992, 2.2.6).

Esto es esencialmente lo mismo en el documento ISO, que ha sido reemplazado por ISO 80000-3: 2009 (pared de pago, pero vista previa gratuita disponible), que tiene una entrada esencialmente idéntica en §3.8.

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Finalmente, y como respuesta a algunos de los comentarios de Luboš Motl, esto se aplica al término "dimensión física" tal como lo entienden la mayoría de los científicos físicos.

También existe una convención alternativa, utilizada en contextos de alta energía donde se trabaja en unidades naturales con$\hbar=c=1$, en el que te quedas con una sola dimensión no trivial, generalmente tomada como masa (= energía). En ese contexto, es usual decir que una cantidad u operador tiene "dimensión$N$" para significar que tiene dimensión de masa$N$es decir, tiene dimensión física$m^N$, pero dado que solo hay masa como la cantidad base, a menudo se descarta. Sin embargo, este es en gran medida un caso de esquina con respecto al resto de la ciencia física, y los teóricos de alta energía son negligentes si olvidan que su "dimensión$N$"sólo funciona en unidades naturales, que son inútiles fuera de su pequeño dominio.

El número$1$puede describirse lingüísticamente como "unidad". Este mismo número es la fuente original de varias palabras en la terminología, como la "matriz unitaria" (una matriz que se comporta como el número$1$).

Es una convención escribir que las cantidades adimensionales como el número de Mach tienen unidades$1$porque la multiplicación por$1$no cambia nada sobre el resultado – esta es la contraparte de la multiplicación por otra unidad como${\rm m/s}$.

Simplemente parece más coherente escribir la unidad.$1$en las mesas. Pero verbalmente, también se puede decir que las cantidades con "esta unidad" no tienen unidades de ningún tipo. Son adimensionales. Mientras uno entienda la lógica, no hay problema en seguir estas convenciones un tanto inconsistentes en las que a veces decimos que las unidades son$1$ya veces decimos que las unidades no están.

En las tablas, la columna "unidad" significa "la relación entre la cantidad total y su valor numérico". Con esta definición, el resultado se puede calcular como$1$sin ningún problema. Es similar a la tarea de calcular los déficits presupuestarios como la diferencia de ingresos y gastos. Si los dos últimos son iguales, la diferencia es sólo$0$. Uno puede escribir$0$aunque también podría escribirlo como$-$y decir que la diferencia "no existe". Los números$0$y$1$juegan el papel de los "objetos neutrales" para la suma y la multiplicación, respectivamente.

DIN EN ISO 80000-1:2012-10 en pág. 26

Capítulo 6.5.5: La Unidad Uno

Traducido del alemán por mí:

La unidad SI coherente para cada valor del número de dimensión es la unidad uno, símbolo 1. Esta unidad, en general, no se escribe, si tal valor viene dado por su número. Por ejemplo, número de vueltas en una bobina$N = 25 \cdot 1 = 25$

Traducido y resumido por mí:

Los nombres especiales [creo que serían rad, grado, ...] para la unidad uno pueden combinarse con prefijos SI. Los símbolos % y pro-mil forman parte de la unidad coherente. El símbolo de la unidad 1 en sí mismo no debe combinarse con prefijos, sino que debe escribirse como potencias de 10.

La norma recomienda no utilizar la palabra adimensional o dimensión 1 sino "número de dimensión". Las otras definiciones están "obsoletas". Como ejemplo se da la cantidad de sustancia 5 mmol/mol, donde el valor es 5, la unidad 1 y la dimensión el número 0.001.

Si$6$y$7$cada uno tiene unidades$1$, y si esta unidad se comporta como otras unidades, entonces$6\times 7=42$tendría unidades$1^2$. Mi altura se mide en metros, pero la mitad de mi altura se mide en$\mathrm{m}1^{-1}$. Si multiplicas esto por dos, obtienes mi altura en metros, pero si lo sumas a sí mismo, obtienes una cantidad que es numéricamente igual a mi altura, pero tiene unidades.$\mathrm{m}1^{-1}$.

Creo que sería bastante difícil hacer esto coherente, por lo que tenemos que concluir que si$1$es una unidad, se comporta bastante diferente de otras unidades. Y si es así, ¿por qué deberíamos llamarlo una unidad?

Para aclarar: en realidad creo que está bien decir que las unidades de una cantidad son$1$. Esta respuesta solo se refiere a la parte de la pregunta que dice "¿es el número$1$una unidad por definición", que interpreté como "¿es una unidad base, como$\mathrm{m}$o$\mathrm{K}$?"