¿La mecánica cuántica viola el principio de equivalencia?

El Principio de Equivalencia Débil, o WEP para abreviar, establece que bajo condiciones iniciales idénticas, el movimiento de partículas de diferentes masas en un campo gravitacional dado es idéntico. O dicho de otro modo, no existen efectos físicos que dependan de la masa de una partícula puntual en un campo gravitatorio externo. Esta es solo la equivalencia entre la masa inercial y la gravitacional.

A continuación, presentaré algunos resultados que están a ambos lados del campo (que WEP se viola o no). Por lo que leí, el consenso sobre este asunto es que se viola el principio de equivalencia en el sentido general. Sin embargo, hay casos especiales en los que el principio es válido para la mecánica cuántica (uno de esos casos se da a continuación).

Tomemos la ecuación de Schrödinger para una partícula de masa inercial$m_i$y masa gravitatoria$m_g$, que está cayendo hacia la masa$M$.

Es evidente que incluso para$m_{i}=m_{g}$la masa no se cancela fuera de las ecuaciones de movimiento. Este hecho es aún más evidente para$m_{i}=m_{g}=m$en un campo gravitatorio uniforme en el$x$dirección, de aceleración$g$

cuya solución dependerá paramétricamente de$\hbar/m$. En este punto podríamos decir que las funciones de onda, los propagadores y las distribuciones de densidad de probabilidad violan la WEP. Además, Rabinowitz en los años 90 examinó la posibilidad de átomos unidos gravitacionalmente, y encontró que la masa,$m$, permanece en las ecuaciones de movimiento cuantizadas (aunque la masa se anula en las ecuaciones de movimiento clásicas). Esperaríamos$m$cancelarse al promediar sobre estados con grandes números cuánticos, pero eso los coloca efectivamente en el continuo clásico.

Sin embargo, PC Davies propone en este artículo el siguiente experimento:

Considere una variante del experimento simple de Galileo, donde partículas de diferente masa se proyectan verticalmente en un campo gravitacional uniforme con una velocidad inicial dada$v$. Clásicamente, se predice que las partículas regresarán un tiempo$2v/g$más tarde, habiendo subido a una altura$x_{max}=v^{2}/ 2g$. Pero las partículas cuánticas pueden hacer un túnel en la región clásicamente prohibida por encima de xmax. Además, la profundidad del túnel depende de la masa. Por lo tanto, cabría esperar un pequeño, pero muy significativo, 'retraso cuántico' dependiente de la masa en el tiempo de retorno. Tal retraso representaría una violación del principio de equivalencia.

Al final de la sección$3$demuestra que el valor esperado para el tiempo de respuesta de una partícula cuántica es idéntico, cuando la medición se realiza lejos del punto de inflexión clásico. En este sentido, la WEP es válida para una partícula cuántica.

Este resultado sugiere que un potencial gravitacional uniforme, que se aplica localmente a cualquier campo gravitatorio no singular, tiene una propiedad especial en relación con la mecánica cuántica, a saber, que el tiempo esperado para la propagación de una partícula cuántica en este fondo es idéntico al clásico. tiempo de propagación. Esto puede tomarse como una extensión del principio de equivalencia al régimen cuántico (para una discusión más amplia de lo que implica un 'principio de equivalencia cuántica'). Esta propiedad especial parece depender de la forma del potencial; no se aplica en el caso de un paso de potencial brusco o un potencial exponencial.

Finalmente, me gustaría señalar este artículo , donde los autores calculan correcciones bajas a la sección transversal para la dispersión de diferentes partículas cuánticas por un campo gravitacional externo (tomado como un campo externo en gravedad linealizada). Muestran que, en primer orden, las secciones transversales dependen del espín. En el segundo orden, también dependen de la energía. Por lo tanto, prueban que el principio de equivalencia se viola en ambos casos.

Tomaré el principio de equivalencia débil en la formulación como se indica en la página de Wikipedia :

Los efectos locales del movimiento en un espacio curvo (gravitación) son indistinguibles de los de un observador acelerado en un espacio plano, sin excepción.

Considere una función de onda$\Psi(r,t)$y suponga que la energía potencial es constante. Ahora vamos a cambiar$^\dagger$a un marco de referencia, que se mueve con respecto al original con velocidad$At$con$A$constante:

$\Psi'(r,t)$es la función de onda en acelerado (con aceleración$A$) cuadro.

Si asumimos la ecuación de Schrödinger para partículas libres

podemos obtener la energía potencial efectiva para el$\Psi'(r,t)$función de onda:

Pero esto no es más que energía potencial en un campo gravitatorio uniforme:

donde usamos$g=-A$es la aceleración de caída libre y$h=r$es altura

¿Qué obtenemos de esto? De hecho, parece que el movimiento en un marco uniformemente acelerado es indistinguible del movimiento en el potencial gravitacional, es decir, se satisface el principio de equivalencia débil , si tomamos la formulación que he citado anteriormente.

¿De qué hablan entonces artículos como, por ejemplo , este ? ¡Dicen sobre la "violación cuántica fuerte del principio de equivalencia débil"! La respuesta, según me parece, es que confunden el principio de equivalencia débil con los efectos dependientes de la masa. Vea, la mayor parte de la discusión es sobre la dependencia de algunas propiedades del paquete de ondas en la masa de partículas. Pero esto no tiene nada que ver con el principio de equivalencia débil: tenemos un ensanchamiento de paquetes de ondas dependiente de la masa incluso sin ninguna gravitación, ¡incluso en el espacio libre!

Tal vez haya alguna formulación no equivalente del principio de equivalencia débil, que habla de efectos dependientes de la masa en los casos en que la mecánica clásica no los tiene, pero entonces no debería tener ninguna relación con la gravedad y la teoría general de la relatividad.

_{$^\dagger$El interruptor es similar al descrito en, por ejemplo, Landau, Lifshitz "Mecánica cuántica. Teoría no relativista", en un problema después de$\S$17, pero teniendo en cuenta la velocidad dependiente del tiempo (es decir, sin olvidar integrar$\frac12mV^2$con respecto al tiempo en lugar de simplemente multiplicar por$t$).}

El problema solo surge cuando se consideran estados propios de energía, que están completamente deslocalizados. Uno de los principios del principio de equivalencia es que la equivalencia entre los sistemas gravitacionales y los marcos acelerados solo es cierta localmente . Todo lo que establece el principio de equivalencia es que existe una vecindad en cualquier punto lo suficientemente pequeño como para que los sistemas físicos sean equivalentes. Pero un estado propio de energía dependerá de la física fuera de dicho vecindario. Debido a eso, los estados propios son estados altamente deslocalizados, no necesitan satisfacer el principio de equivalencia de ninguna manera.

Una explicación más detallada sería la siguiente: La transformación induce un hamiltoniano en el marco acelerado. El principio de equivalencia dice que si la localidad es lo suficientemente pequeña, no se puede hacer una medición dentro de la localidad que me diga si estoy en un potencial gravitatorio o en un marco acelerado. Pero, por definición, no puede realizar mediciones perfectas de impulso o energía dentro de dicha localidad porque su localidad tiene una extensión en el espacio, por lo que la posición no puede estar fuera de esa extensión. Por lo tanto, ninguna medida posible dentro de la localidad puede diferenciar estados propios extendidos de energía o cantidad de movimiento. Si los paquetes son más estrechos que el ancho de la localidad, el principio de equivalencia debe mantenerse. Si los paquetes son más anchos que la localidad, el principio de equivalencia NO debe cumplirse

Si la Mecánica Cuántica viola el principio de equivalencia, esto significaría que la teoría de Einstein está equivocada. Pero sabemos por experimentos (Gravity Probe B...etc) que la teoría de Einstein no está equivocada. Por lo tanto, la Mecánica Cuántica no viola la teoría de Einstein, por lo que no viola el principio de equivalencia.