Ecuación de Schrödinger bajo una transformada unitaria/de coordenadas

En QM existen las llamadas simetrías dinámicas dependientes del tiempo :$t$-familias parametrizadas de operadores unitarios$V(t)$tal que

$$V(t)U_t = U_t V(0) \quad \forall t \in \mathbb R\:,\tag{1}$$ dónde $U_t = e^{-it H}$es el evolutor temporal de la teoría. El significado de (1) es claro: si $$\mathbb R \ni t \mapsto \psi(t) := U_t \psi(0)$$ describe la evolución de un estado puro en el espacio de Hilbert $\cal H$con condición inicial $\psi(0)$, el mapa $$\mathbb R \ni t \mapsto \psi'(t) := V(t) \psi(t)$$ sigue siendo la historia de un estado puro del sistema, el que tiene la condición inicial transformada $$\psi'(0) := V(0)\psi(0)\:.$$ Cuando $V(t)=V(0)$para todos $t$tenemos una simetría dinámica mucho más habitual asociada a una cantidad conservada mediante la versión cuántica del teorema de Noether. Las simetrías dinámicas también definen cantidades conservadas, pero el procedimiento es un poco más complicado.

Hay al menos dos casos importantes de simetrías dinámicas dependientes del tiempo en la física, la transformación de impulso que representa el cambio del marco de referencia inercial tanto en la física clásica como en la relativista (cuántica). Sin embargo, la estructura es la misma.

$$V_v(t) = e^{iv K(t)}\quad t,s \in \mathbb R$$ dónde $v \in \mathbb R$es el parámetro del grupo de un parámetro en fijo $t$del grupo de Galileo o de Poincaré respectivamente representado unitariamente. Para el grupo de Galileo (existe un generador de este tipo para cada dirección del $3$-espacio) $$K(t) = MX - tP$$ dónde $M$es la masa del sistema y $X$la posición del centro de masa. (Es posible probar que este generador junto con los otros generadores $9$Los generadores del álgebra de Lie del grupo proyectivo de Galileo son esencialmente autoadjuntos en un dominio invariante común denso, pero no discutiré estos temas más matemáticos aquí).

Ahora consideremos la evolución temporal de un estado puro representado por el vector unitario$\psi(t)$sometido a una transformación de refuerzo (visto así como el vector inicial en el marco de referencia). El nuevo evolucionador es$U'_t$y tenemos

$$U'_t \psi'(0) = \psi'(t)$$ Juntos con $$\psi'(t) = V(t) \psi(t)$$ de modo que $$U'_t \psi'(0) = \psi'(t) = V(t) U_t \psi(t) = V(t) U_t V(0)^{-1} \psi'(0)\:.$$ Desde $\psi'(0)$es arbitrario, concluimos que $$U'_t = V(t) U_t V(0)^{-1}\:. \tag{2}$$ Si, al menos formalmente, tomando la (topología de operador fuerte) $t$-derivada en $t=0$(y esto tiene sentido en el dominio mencionado anteriormente para el grupo de Galileo) encontramos $$H' = V(0)HV(0)^{-1} +i \frac{\partial V}{\partial t}|_{t=0} V(0)^{-1}\:. (3)$$ Si calculamos explícitamente la derivada, en realidad encontramos $H'=H$. Esto se debe a que, a partir de (1), (2) se puede reformular en $$U'_t = U_t V(0) V(0)^{-1} = U_t\:. \tag{2'}$$ que inmediatamente da $H'=H$sin explotar la incómoda identidad (3).

Resultados similares son válidos en el formalismo hamiltoniano clásico cuando se trata de transformaciones canónicas que dependen explícitamente del tiempo, por ejemplo, para representar canónicamente la acción del grupo de Galileo. Está relacionado con el hecho de que la función hamiltoniana no es un escalar diferente a la función lagrangiana en la mecánica clásica y este hecho ocurre cuando el cambio de coordenadas depende del tiempo.

(1) tiene otro porque cuando se escribe en términos de hamiltoniano, puede establecer fácilmente usándolo junto con la identidad (teorema de Stone)

$$\frac{dU_t}{dt} = -i H U_t = -i U_t H\:.$$ me refiero a la identidad $$H = V(t) H V(t)^{-1} + i \frac{dV(t)}{dt} V(t)^{-1}\:.\tag{4}$$ que se puede reformular en la forma que descubriste tú mismo, $$V(t) H V(t)^{-1} = H - i \frac{dV(t)}{dt} V(t)^{-1}\:.$$ El primer término en el lado derecho de (4) es la ley de transformación de observables bajo la simetría de impulso $V(t)$, que es válido, por ejemplo, para el momento y el operador de posición: $$X \to X' = V(t) X V(t)^{-1} = X + tvI, \quad P \to P' = V(t) P V(t)^{-1} + MvI\:. \tag{5}$$ Esta noción de transformación se basa en la idea de que si uno transforma estados y observables simultáneamente, entonces los valores esperados no cambian . El punto es que al aplicar esta idea al hamiltoniano observable bajo la simetría de impulso, el hamiltoniano transformado deja de ser el hamiltoniano del sistema ya que (1) se cumple en lugar de $V(t) U_t V(t)^{-1} = U_t$(incorrecto) como sucede en cambio para las otras simetrías del grupo de Galileo: para un sistema aislado, $H$es un escalar bajo traslaciones y rotaciones pero no bajo impulsos.