Ecuación de Schrodinger en representación de momento con masa efectiva dependiente de la posición

Question

Ecuación de Schrodinger en representación de momento con masa efectiva dependiente de la posición

masa
Física
Transformada de Fourier
mecánica cuántica
ecuación de Schroedinger
semiconductor-física

yuriy s

Estoy tratando de convertir la ecuación de Schrödinger con masa efectiva dependiente de la posición (PDEM) en representación de momento, y no estoy seguro de cómo aplicar el operador de energía cinética.

En la representación de posición el operador tiene la siguiente forma:

\begin{matrix} (1) & \hat{T} Ψ (\vec{r}) = - \frac{ℏ^{2}}{2} \nabla (\frac{1}{{metro}^{*} (\vec{r})} \nabla Ψ (\vec{r})) \end{matrix}

$\hat{T} \Psi(\vec{r})=- \frac{\hbar^2}{2} \nabla \left( \frac{1}{m^*(\vec{r})} \nabla \Psi(\vec{r}) \right) \tag{1}$

Que también podría escribirse como:

\begin{matrix} (2) & \hat{T} Ψ (\vec{r}) = \frac{1}{2} \hat{pag} (\frac{1}{{metro}^{*} (\vec{r})} \hat{pag} Ψ (\vec{r})) \end{matrix}

$\hat{T} \Psi(\vec{r})=\frac{1}{2}\hat{p} \left( \frac{1}{m^*(\vec{r})} \hat{p} \Psi(\vec{r}) \right) \tag{2}$

Ahora me gustaría obtener este operador en representación de momento. Para masa constante, sería:

\begin{matrix} (3) & \hat{T} Ψ (\vec{pag}) = \frac{1}{2 {metro}^{*}} {pag}^{2} Ψ (\vec{pag}) \end{matrix}

$\hat{T} \Psi(\vec{p})=\frac{1}{2 m^*} p^2 \Psi(\vec{p}) \tag{3}$

¿Cómo transformo Fourier al operador en caso de PDEM? Sospecho que está involucrado el teorema de convolución, pero no estoy seguro de cómo aplicar la regla correctamente cuando se trata de derivados.

Es suficiente considerar primero el caso unidimensional, por lo que necesito transformar:

\begin{matrix} (4) & \hat{T} (X) Ψ (X) = - \frac{ℏ^{2}}{2} \frac{d}{d X} (\frac{1}{{metro}^{*} (X)} \frac{d Ψ (X)}{d X}) \end{matrix}

$\hat{T}(x) \Psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2}\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} \left(\frac{1}{m^*(x)} \frac{\mathrm d \Psi(x)}{\mathrm d x} \right) \tag{4}$

a:

\hat{T} (pag) Ψ (pag)

$\hat{T}(p) \Psi(p)$

Para el potencial tenemos por el teorema de convolución:

\begin{matrix} (5) & tu (X) Ψ (X) \to \int_{- \infty}^{\infty} tu (pag - {pag}^{'}) Ψ ({pag}^{'}) d {pag}^{'} \end{matrix}

$U(x) \Psi(x) \rightarrow \int_{-\infty}^\infty U(p-p') \Psi(p') dp' \tag{5}$

mis2cts

Una masa dependiente de la posición es solo un potencial. ¿Estás seguro de que no haces también dependiente la posición del impulso? Eso también es un potencial.

yuriy s

@ my2cts, no entiendo tu comentario. La ecuación de Schrödinger para la masa dependiente de la posición en la representación de coordenadas es

- \frac{ℏ^{2}}{2} \nabla (\frac{1}{{metro}^{*} (\vec{r})} \nabla Ψ (\vec{r})) + tu (\vec{r}) Ψ (\vec{r}) = mi Ψ (\vec{r})

$- \frac{\hbar^2}{2} \nabla \left( \frac{1}{m^*(\vec{r})} \nabla \Psi(\vec{r}) \right)+U(\vec{r}) \Psi(\vec{r})=E \Psi(\vec{r})$ donde el PDM y el potencial no entran de la misma manera en absoluto. La masa dependiente de la posición no es equivalente a un potencial. En cuanto a si PDM hace que el operador de momento dependa de la posición, no estoy seguro. Creo que todavía debería tener la misma representación de posición.

\hat{p} = - i ℏ \nabla

$\hat{p}=-i \hbar \nabla$

mis2cts

Por favor numere sus ecuaciones.

mis2cts

Eso es porque solo tienes en cuenta su efecto inercial, no su efecto energético. Esto es correcto ya que probablemente esté discutiendo la masa efectiva en algún tipo de medio de materia condensada.

yuriy s

@my2cts, sí, esto es para la aplicación de heteroestructuras de semiconductores

mis2cts

En cuanto al momento, está introduciendo una contribución de momento que depende tanto de la posición como de la velocidad. De hecho, más complicado que un vector potencial.

Respuestas (2)

Ecuación de Schrodinger en representación de momento con masa efectiva dependiente de la posición

Una masa dependiente de la posición es solo un potencial. ¿Estás seguro de que no haces también dependiente la posición del impulso? Eso también es un potencial.
@ my2cts, no entiendo tu comentario. La ecuación de Schrödinger para la masa dependiente de la posición en la representación de coordenadas es $- \frac{ℏ^{2}}{2} \nabla (\frac{1}{{metro}^{*} (\vec{r})} \nabla Ψ (\vec{r})) + tu (\vec{r}) Ψ (\vec{r}) = mi Ψ (\vec{r})$ $- \frac{\hbar^2}{2} \nabla \left( \frac{1}{m^*(\vec{r})} \nabla \Psi(\vec{r}) \right)+U(\vec{r}) \Psi(\vec{r})=E \Psi(\vec{r})$ donde el PDM y el potencial no entran de la misma manera en absoluto. La masa dependiente de la posición no es equivalente a un potencial. En cuanto a si PDM hace que el operador de momento dependa de la posición, no estoy seguro. Creo que todavía debería tener la misma representación de posición. $\hat{p}=-i \hbar \nabla$
Eso es porque solo tienes en cuenta su efecto inercial, no su efecto energético. Esto es correcto ya que probablemente esté discutiendo la masa efectiva en algún tipo de medio de materia condensada.
@my2cts, sí, esto es para la aplicación de heteroestructuras de semiconductores
En cuanto al momento, está introduciendo una contribución de momento que depende tanto de la posición como de la velocidad. De hecho, más complicado que un vector potencial.

Inmaurer · Answer 1

Como sugiere my2cts, esta es básicamente la misma ecuación que obtiene para la luz con una constante dieléctrica dependiente de la posición, y puede obtener una idea al consultar esa literatura. Si la constante dieléctrica (o masa efectiva) es continua por tramos, entonces puede resolver para $\psi$ en cada pieza y unir las soluciones con las condiciones de contorno adecuadas.

Dicho esto, puedes tomar la transformada de Fourier de esa ecuación si quieres; tiene razón en que contendrá convoluciones (ya que la transformada de Fourier de un producto de funciones es una convolución de sus transformadas de Fourier), lo que puede hacer que la ecuación resultante sea de uso limitado. Voy a usar las relaciones en esta tabla y no garantizo que lo siguiente esté libre de errores.

Primero, por simplicidad, defina $b(x) = 1/m(x)$ . Entonces su ecuación 4 se vuelve (ignorando el $-\hbar^2/2$ )

\frac{d b}{d X} \frac{d ψ}{d X} + b \frac{d^{2} ψ}{d X^{2}}

$\frac{db}{dx}\frac{d\psi}{dx} + b \frac{d^2 \psi}{dx^2}$

Usando la relación 109 de la tabla, la transformada de Fourier de la expresión anterior es

\frac{1}{2 π} (\hat{\frac{d b}{d X}} * \hat{\frac{d ψ}{d X}} + \hat{b} * \hat{\frac{d^{2} ψ}{d X^{2}}}),

$\frac{1}{2\pi}\left( \hat{\frac{db}{dx}} * \hat{\frac{d\psi}{dx}} + \hat{b} * \hat{\frac{d^2 \psi}{dx^2}} \right),$

dónde $*$ indica una convolución y $\hat{}$ indica cantidades transformadas por Fourier. Luego, usando la relación 106 (y un poco de simplificación), eso se convierte en

- \frac{1}{2 π} [(ω \hat{b}) * (ω \hat{ψ}) + \hat{b} * (ω^{2} \hat{ψ})],

$-\frac{1}{2\pi}\left[ \left(\omega\hat{b}\right) * \left(\omega\hat{\psi}\right) + \hat{b} * \left(\omega^2\hat{\psi}\right) \right],$

que creo que es la respuesta a tu pregunta. Puede haber una forma de simplificar aún más la expresión (puede escribir las circunvoluciones como integrales y combinar algunos términos), pero eso depende de otra persona.

¡Gracias por la respuesta! Solo para estar seguro, ¿significa esto lo que creo que significa? $(k \hat{b} (k)) * (k \hat{ψ} (k)) = \int (k - k^{'}) \hat{b} (k - k^{'}) k^{'} \hat{ψ} (k^{'}) d k^{'}$ $\left(k \hat{b} (k)\right) * \left(k \hat{\psi} (k)\right)=\int (k-k') \hat{b} (k-k') k' \hat{\psi} (k') dk'$ Entiendo la convolución, solo quería estar seguro del significado de los corchetes en este caso. Aquí $\hat{b}(k)$ significa que $\hat{b}$ es una función de $k$ .

mis2cts · Answer 2

Si m(r) fuera general, entonces la energía cinética ya no es diagonal en el espacio k. Como probablemente desee combinar materiales con diferentes masas efectivas, trataría esto como lo hizo Fresnel para la luz: encuentre soluciones en cada medio y combine. Si esta es su elección y publica su resultado, por favor haga referencia a mí.

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