Marco de referencia involucrado en la ecuación de Schrödinger

Me gustaría agregar al comentario de Michael Brown que "Puede escribir la ecuación de Schrödinger en cualquier marco que desee": es literalmente cierto y la ecuación de Schrödinger tiene un significado que es mucho más básico que los marcos de referencia, etc. Como dicen Trimok y Michael Brown, la ecuación de Schrödinger para ciertos sistemas físicos depende del marco si es que la transformación entre marcos de referencia tiene sentido para el sistema físico en consideración, pero su "forma" fundamental es siempre la misma que se analiza a continuación. En realidad, uno tiene que especificar una recopilación de información bastante desconcertante sobre el escenario en el que está haciendo la mecánica cuántica para dar una descripción completa: "imágenes" (ya sea "Schrödinger" o "Heisenberg o "Interacción" o de otra manera), "coordenadas" o "espacio" (ya sea "posición" o "momento", etc.), y, si es siquiera relevante, el marco de referencia en ese espacio. Esta información no siempre es del todo clara en una discusión y las especificaciones pueden ser descuidadas (especialmente, lamentablemente, en algunos textos elementales), por lo que su pregunta es buena.

La ecuación de Schrödinger es simplemente la ecuación diferencial de primer orden que describe la evolución temporal de un "vector", que representa el estado del sistema cuántico, en algún espacio de Hilbert. Ese estado puede representar cualquier cosa, no tiene que tener nada que ver con posiciones o movimientos en el espacio. Por ejemplo, si quiero hacer un modelo cuántico de un circuito resonante inductor-capacitor, terminaría describiendo el estado del sistema como una secuencia discreta de números complejos$\Psi = \{\psi_0, \psi_1, \cdots\}$, tal que$\sum_j |\psi_j|^2 = 1$.$\psi_0$es la amplitud de probabilidad de que el sistema se encuentre en su estado fundamental cuántico, es decir, lo más cerca posible de estar "desenergizado" sin violar la desigualdad de Heisenberg,$\psi_1$la amplitud de probabilidad de que el oscilador esté en un estado de un fotón, es decir, su energía es$\frac{\hbar}{\sqrt{L\,C}}$,$\psi_2$la amplitud que es el estado de dos fotones, y en general$\psi_N$la actitud que está en un$N$-estado fotónico; o, si se quiere, la amplitud que ha tenido$N$-fotones agregados a su estado fundamental desde algún lugar fuera del sistema oscilador. En este circuito resonante cuantificado, las posiciones espaciales son irrelevantes. "Marco de referencia" no tiene significado aquí. Naturalmente aquí la inductancia y la capacitancia son respectivamente$L$y$C$.

La ecuación de Schrödinger es muy general: simplemente dice que la composición y el funcionamiento de un sistema cuántico son, en cierto sentido, "constantes" cuando el sistema se separa del resto del mundo. Esta declaración vaga tiene más sentido en símbolos: la descripción matemática tiene que ser invariable con respecto a los cambios de tiempo: si comienzo con un estado cuántico a las 12 en punto y lo evoluciono hasta la 1 en punto, entonces la evolución de mi estado va a Sería lo mismo que si empezara con el mismo estado a las 4 y esperara hasta las cinco. Ahora, asumimos linealidad, de modo que nuestro vector de estado (ahora escrito como vector columna) va a evolucionar siguiendo alguna ecuación matricial:$\psi(t) = U(t) \psi(0)$, donde la matriz de transición de estado$U(t)$debe:

1. Realizar$U(t+s) = U(t) U(s) = U(s) U(t)$para cualquier intervalo de tiempo$t$y$s$. Esta es simplemente nuestra discusión sobre la invariancia del cambio de tiempo anterior. Inmediatamente sabemos$U(t) = \exp(A t)$, para alguna matriz constante$A$como la exponencial es la única función continua con esta propiedad de invariancia de cambio de tiempo;
2. Debe ser unitario: esto quiere decir que debe conservar normas, de modo que$\sum_j |\psi_j|^2 = 1$se cumple en todo momento: esto simplemente dice que el sistema tiene que estar en algún estado, debido a la interpretación de probabilidad de las magnitudes al cuadrado.

Entonces, la evolución de estado más general posible es$\psi(t) = \exp(-\hbar^{-1} i\, \hat{H}\, t)\,\psi(0)$, dónde$\hat{H}$es una matriz hermitiana constante (esto es equivalente a la declaración de unitaridad). Esto a su vez es equivalente a:

$i\,\hbar\,\mathrm{d}_t \psi = \hat{H}\,\psi$

que es la ecuación de Schrödinger (ver nota al pie sobre las misteriosas constantes$\hbar$y$i$). Esperemos que la naturaleza esencial de la ecuación de Schrödinger ahora quede clara:

La ecuación de Schrödinger para un sistema cuántico afirma la invariancia del cambio de tiempo del sistema cuando ese sistema se separa del resto del mundo.

No es ni más ni menos que esta idea, que como puede ver es mucho más básica e independiente de las "coordenadas" o los "marcos de referencia" (si es que este último es significativo). Como puede ver, no he dicho nada sobre el espacio, y mucho menos sobre los marcos de referencia. Diferentes coordenadas y marcos de referencia dan lugar a diferentes matrices constantes$\hat{H}$, pero todos son constantes y todos son hermitianos: daré algunos ejemplos cuando vuelva al ejemplo del inductor-condensador a continuación.

La ecuación de Schrödinger no es la única forma de hacer la afirmación anterior de la invariancia del cambio de tiempo, lo que me lleva a la discusión de "imágenes", a veces, muy inútilmente, llamadas "marcos" o "marcos". Lo que podría estar pensando cuando dice "marco" es que a veces es más fácil analizar la evolución de un sistema en lo que se llama la imagen de Heisenberg. En la mecánica cuántica, las únicas cosas "reales" son las medidas, representadas por observables, que son matrices hermitianas (operadores). Entonces, las únicas cantidades "reales" son los momentos de la distribución de probabilidad para la cantidad medida: si la cantidad es medida por un observable$\hat{M}$entonces el momento n de la distribución de probabilidad para el valor de esa medida cuando el estado del sistema es$\psi$es$\psi^\dagger \hat{M}^n\psi$en notación matricial o en notación bra-ket$\left<\psi|\hat{M}^n|\psi\right>$. Se puede pensar que el estado de un sistema es constante cuando el sistema está aislado y que los propios observables evolucionan en el tiempo. Dado que solo importan las medidas, esto es totalmente aceptable siempre que los valores de las medidas no cambien: la medida evoluciona con la primera derivada$\mathrm{d}_t\left<\psi|\hat{M}^n|\psi\right>$y, si usamos la regla de Leibniz y conectamos la evolución temporal de$\psi$descrito por la ecuación de Schrödinger obtenemos:

$\mathrm{d}_t \psi^\dagger \hat{M} \psi = \frac{i}{\hbar} \psi^\dagger [\hat{H}, \hat{M}]\psi$

Ahora puede ver que las medidas evolucionarán exactamente de la misma manera que lo harían si el sistema evolucionara como lo describe la ecuación de Schrödinger si pensamos en el estado$\psi$como constante y si los observables en cambio evolucionan de la siguiente manera:

$\mathrm{d}_t \hat{M} = \frac{i}{\hbar} [\hat{H}, \hat{M}]$

Esta es la ecuación de movimiento de un observable en la imagen de Heisenberg ("marco"). Estoy bastante seguro de que en alguna parte Feynman dice que la imagen de Heisenberg es como hacer mecánica cuántica en un marco giratorio en su serie de conferencias. Por supuesto, está siendo metafórico. También tenga en cuenta que, debido a que queremos que la ecuación de Heisenberg se cumpla para cualquier observable, su forma está muy restringida. En particular, la operación de la derecha tiene que ser una derivación (algo que cumpla la regla del producto de Leibnitz, que es el paréntesis de Lie) de modo que si observables$\hat{A}$y$\hat{B}$cumplen la ecuación de Heisenberg, también lo hacen$\hat{A}^n$,$\hat{B}^n$y$i [\hat{A}, \hat{B}]$, que también pueden ser observables (hermitianos).

Ahora, si estás pensando en observables de posición, entonces cuando uno resuelve la ecuación de Schrödinger para, digamos, el átomo de hidrógeno, uno siempre se sienta en un marco estacionario en relación con el átomo de hidrógeno. Las fuerzas de inercia a menudo se consideran completamente insignificantes si un sistema tan pequeño se está acelerando, pero vea el artículo que ha citado @Trimok.

Especialmente de la ecuación de Heisenberg, uno puede ver fácilmente que cualquier observable que conmuta con la matriz constante$\hat{H}$define un observable cuyas medidas son constantes en el tiempo. Entonces$\hat{H}$se supone que es la energía observable, ya que en la física clásica la energía es la "corriente" conservada correspondiente, según el teorema de Noether, a la invariancia con respecto a los cambios de tiempo.

El teorema de Stone-von Neumann tiene más que decir sobre la equivalencia unitaria entre las imágenes de Heisenberg y Schrödinger.

En aras de la exhaustividad, y para dar una idea de cuántas posibilidades hay para la ecuación de Schrödinger, volvamos a nuestro ejemplo de circuito resonante inductor-capacitor (he tomado este ejemplo inusual pero deliciosamente simple de un sistema para cuantificar a partir de un libro poco conocido de Dietrich Marcuse (antes de Bell Labs), "Engineering Quantum Electrodynamics"). Esto es, por supuesto, deliberadamente elegido como un sistema físico para el cual el "marco de referencia" espacial no tiene significado.

Para las convenciones de signos de voltaje y corriente que se muestran en el dibujo de nuestro circuito de tanque LC, las ecuaciones clásicas de evolución de estado son:

$\mathrm{d}_t\left(\begin{array}{c}V\\I\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0&C^{-1}\\-L^{-1}&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}V\\I\end{array}\right);\quad H = \frac{1}{2}\,L\,I^2 + \frac{1}{2}\,C\,V^2$

que son totalmente análogas a las de una masa oscilante$m$en un resorte con constante de resorte$k = m\,\omega_0^2$:

$\mathrm{d}_t\left(\begin{array}{c}x\\p\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0&m^{-1}\\-k&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\p\end{array}\right);\quad H = \frac{p^2}{2\,m} + \frac{1}{2}\,k\,x^2$

cuando$x$y$p$representan la posición lineal y el momento de la masa, respectivamente. Aquí$H$es el hamiltoniano clásico (energía total). Para acortar una larga historia, podemos cuantificar este sistema transfiriendo resultados conocidos para el oscilador armónico cuántico. En energía o, de manera equivalente, el número de fotones coordina el estado del sistema es el discreto normalizado$\ell^2$secuencia$\Psi = \{\psi_0, \psi_1, \cdots\}$de lo que hablé al principio, con la interpretación de que$\psi_n$es la amplitud de probabilidad de que el sistema haya sido elevado por$n$cuantos de energía iguales$\hbar\,\omega_0$del estado fundamental. La ecuación de Schrödinger se define como arriba con la matriz cuadrada infinita numerable$\hat{H} =\frac{\hbar\,\omega_0}{2} I + \hbar\,\omega_0\,\mathrm{diag}\left(0,\,1,\,2,\,3,\,\cdots\right)$donde aqui$I$representa el operador de identidad y$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L\,C}}$. Los dos observables conjugados (es decir, que cumplen las relaciones canónicas de conmutación), que representan en el sentido mencionado anteriormente, las mediciones físicas en el sistema son los observables de voltaje y corriente, respectivamente:

$\hat{V} = \sqrt{\frac{\hbar}{2\,C\,\sqrt{L\,C}}}\left(A^\dagger + A\right);\quad \hat{I} = i\,\sqrt{\frac{\hbar}{2\,L\,\sqrt{L\,C}}}\left(A^\dagger - A\right)$

dónde:

$A = \left(\begin{array}{cccc}0&0&0&\cdots\\\sqrt{1}&0&0&\cdots\\0&\sqrt{2}&0&\cdots\\0&0&\sqrt{3}&\cdots\\\cdots\end{array}\right);\quad A^\dagger = \left(\begin{array}{cccccc}0&\sqrt{1}&0&0&0&\cdots\\0&0&\sqrt{2}&0&0&\cdots\\0&0&0&\sqrt{3}&0&\cdots\\0&0&0&0&\sqrt{4}&\cdots\\\cdots\end{array}\right)$

y la relación canónica de conmutación es:

$\left[\hat{V},\,\hat{I}\right] = \frac{i\,\hbar}{\sqrt{L\,C\,\sqrt{L\,C}}}\,I$

En estas coordenadas de energía, el vector de estado es una secuencia discreta, todos los observables son matrices discretas (aunque infinitas) y la solución de la ecuación de Schrödinger es bastante sencilla, a saber:

$\Psi = \mathrm{diag}\left(e^{-i\,\omega_0\,\frac{t}{2}}\,\psi_0(0),\,e^{-3\,i\,\omega_0\,\frac{t}{2}}\,\psi_1(0),\,e^{-5\,i\,\omega_0\,\frac{t}{2}}\,\psi_2(0),\,\cdots\right)$

Se puede definir el oscilador armónico cuántico y sus observables como un sistema cuántico con dos observables que (i) cumplen una relación de conmutación canónica y (ii) producen mediciones con valores esperados (medios) armónicos de tiempo. Uno puede, con un poco de trabajo, demostrar que esta definición define de manera única el sistema cuántico dentro del espacio de energía$\hbar\,\omega_0$entre su espectro de energía discreto, uniformemente espaciado (el hecho de un espectro discreto, uniformemente espaciado también se deriva de la definición que se acaba de dar y no tiene que asumirse). Los espectros de las variables conjugadas de voltaje y corriente son continuos, y ahora uno puede hacer el "procedimiento del operador de escalera" de Dirac al revés y encontrar un sistema de coordenadas donde el voltaje observable toma la forma simple$\hat{V} \Psi(v, \,t) = v\, \Psi(v,\,t)$y el observable actual es$\hat{I} \Psi(v, \,t)= -i\,\frac{\hbar}{L\,C}\,\partial_v \Psi(v,\,t)$. Este procedimiento en realidad no es trivial (bueno, no para mí, al menos) y la respuesta es que el hamiltoniano es ahora un operador continuo más complicado, pero más habitual, y la ecuación de Schrödinger completa es ahora:

$i\,\hbar\,\partial_t \Psi(v, \,t) = \frac{1}{2}\left(C\,v^2 - \frac{\hbar^2}{L\,C^2} \partial_v^2\right) \Psi(v, \,t)$

$\Psi(v, \,t)$es ahora la amplitud de probabilidad de medir el voltaje$v$a través del circuito del tanque en el momento$t$. Además, se puede transformar la línea de coordenadas de voltaje con una transformada de Fourier continua unidimensional para llegar a un nuevo sistema de coordenadas (análogo al espacio de momento para una masa armónica cuantificada en un oscilador de resorte) en el que la corriente observable adquiere el particular forma simple$\hat{I} \Psi(\iota, \,t) = \iota \Psi(\iota, \,t)$y donde el voltaje observable es ahora$\hat{V} \Psi(\iota, \,t) = i\,\frac{L\,C}{\hbar} \partial_\iota\Psi(\iota, \,t)$y la ecuación completa de Schrödinger es ahora:

$i\,\hbar\,\partial_t \Psi(\iota, \,t) = \frac{1}{2}\left(L\,\iota^2 - \frac{L^2\,C^3}{\hbar^2} \partial_\iota^2\right) \Psi(\iota, \,t)$

$\Psi(\iota, \,t)$es ahora la amplitud de probabilidad de medir la corriente$\iota$a través del circuito del tanque en el momento$t$. Como puede ver en el ejemplo anterior, simple en el que los marcos de referencia de espacio y tiempo no tienen relevancia, se puede usar una gran cantidad de sistemas de coordenadas diferentes para la ecuación de Schrödinger.

Digo más sobre el teorema de unicidad que se acaba de citar y el último procedimiento inverso de Dirac en la referencia Journal Optical Society of America B/Vol. 24, No. 4/ Abril 2007 p 928.

Nota al pie sobre las constantes en la ecuación de Schrödinger: para los propósitos de esta respuesta, uno puede pensar en la misteriosa constante$\hbar$es solo una constante arbitraria que saqué de la matriz constante; también mantiene el argumento de la exponencial sin dimensiones al tener$[\hbar] = J\,s$como sus unidades SI porque resulta que$\hat{H}$tiene unidades de energía.$i$también es un poco arbitrario: hace que los observables (ver más abajo) sean hermitianos, en lugar de hermitianos sesgados y hace que las medidas derivadas de esos observables sean reales en lugar de puramente imaginarias, como lo serían si los observables fueran hermitianos sesgados, como parecería más natural para muchos matemáticos pensar en observables pertenecientes al álgebra de Lie del grupo de matrices de transición de estado unitario. Pero, en principio (algo incómodo),$i$podría eliminarse, y el sistema de unidades se puede redefinir para hacer$\hbar = 1$(esto último se hace en la práctica en unidades de "Planck").