Ecuación de Schrödinger y Relatividad Especial

Por lo que entiendo, la ecuación de Schrödinger describe cómo evoluciona la función de onda de un sistema cuántico en el espacio durante un tiempo determinado (me refiero a una versión relativista de la ecuación de Schrödinger). Mi entendimiento es que la ecuación esencialmente describe la evolución de la probabilidad de una medida cuántica como un sistema clásico. Entonces, ¿significa esto que las probabilidades determinadas por la ecuación de Schrödinger dependen del marco de referencia del observador (es decir, la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud afectan las probabilidades dadas por la ecuación)?

EDITAR: Lo que finalmente me pregunto es si las probabilidades calculadas a partir de la función de onda cuya evolución se describe mediante la ecuación de Schrödinger dependen del marco de referencia del observador (es decir, si dos sistemas idénticos medidos por (1) alguien en reposo en relación con el sistema y (2) alguien en movimiento en relación con el sistema, ¿las probabilidades de medición son diferentes? ¿Tiene sentido decir que alguien en movimiento en relación con el sistema hace una medición?)

La ecuación de Schroedinger describe la evolución de la función de onda. No describe la evolución de las probabilidades. Esos solo entran en juego al usar la regla de Born, que es una suposición independiente sobre los resultados de las mediciones clásicas en un sistema cuántico. Dado que la ecuación de Schroedinger no es relativista, no le dará los resultados correctos para los sistemas cuánticos relativistas. Para eso necesitas la teoría cuántica de campos.
En resumen, la ecuación de Schrödinger se basa en la mecánica hamiltoniana clásica, lo que significa que no es correcta en el límite relativista. Deberías leer este artículo de Wikipedia . Creo que responde a tu pregunta.
Aclaración sobre la pregunta (v1): ¿Se refiere a la ecuación de Schrödinger para la evolución temporal de la "ecuación de Shrödinger independiente del tiempo", que desafortunadamente se nombra porque en realidad es solo la ecuación obedecida por vectores propios de energía? El primero es totalmente general y relativista.
@CuriousOne La ecuación de Schrödinger para la evolución del tiempo, a saber i ℏ d | ψ ⟩ / d t = H | ψ ⟩ no es no relativista. De hecho, es la base de la evolución del tiempo en cualquier teoría cuántica de cualquier cosa, incluida la QFT. Lamento insistir en el punto, pero siento que este es uno de esos conceptos erróneos que deben ser aplastados con bastante asertividad.
@joshphysics: dentro del contexto de la pregunta del OP, la referencia parece ser la ecuación de Schroedinger de una sola partícula no relativista, que es diferente de una ecuación de evolución lineal generalizada de QFT (en cuyo contexto la interpretación de la función de onda es fundamentalmente diferente, sin mencionar los problemas significativos de incluso definir problemas qft de una manera matemáticamente significativa en esa notación).
@CuriousOne Eso puede ser así, y si es así, entonces estoy de acuerdo con usted, pero no estoy convencido de que ese sea el contexto que tiene en mente el OP. Tal vez el OP nos agradezca con una aclaración.
@joshphysics: Eso es justo. Preguntémosle al OP qué quiso decir. Si tenía una pregunta más general de lo que yo entendía, con mucho gusto retiro mi comentario.

Respuestas (3)

Por lo que entiendo, la ecuación de Schrödinger describe cómo evoluciona la función de onda de un sistema cuántico en el espacio durante un tiempo determinado (me refiero a una versión relativista de la ecuación de Schrödinger).

Primero, no hay una ecuación relativista de Schrödinger. La generalización relativista correcta es la ecuación de Dirac, pero incluso eso es una especie de aproximación a la teoría verdadera y uno debe trabajar con todo el aparato de QFT = QM + SR.

Mi entendimiento es que la ecuación esencialmente describe la evolución de la probabilidad de una medida cuántica como un sistema clásico.

La ecuación describe directamente la evolución de la amplitud de probabilidad y no la probabilidad per se; se deriva la evolución de probabilidades. La amplitud, en cierto sentido, es la 'raíz cuadrada' de la probabilidad, y es uno de los conceptos básicos que distingue a la Mecánica Cuántica de la Mecánica Clásica.

Lo que en última instancia me pregunto es si las probabilidades calculadas a partir de la función de onda cuya evolución describe la ecuación de Schrödinger dependen del marco de referencia del observador.

Sí lo hace. El problema básico en la cuantización canónica es que no podemos hacer una elección covariante de operadores de creación y aniquilación.

La ecuación de Schrödinger es una aproximación no relativista a la ecuación de Klein-Gordon. Las propiedades (cantidad de movimiento, energía, ...) descritas por las soluciones de la ecuación de Schrödinger deberían depender de la manera adecuada del marco de referencia de Galilei. En realidad no lo hacen. Las propiedades (cantidad de movimiento, energía, ...) descritas por las soluciones de la ecuación de Klein-Gordon se comportan correctamente bajo las transformaciones de Lorentz, al igual que las soluciones de la ecuación de Dirac, que puede considerarse la extensión relativista de la ecuación de Pauli.

En lo que sigue, discuto la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo , la que todos aprendimos en el primer curso de mecánica cuántica , al menos durante mis estudios.

shcrodinger

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo no es relativista, y sí, dará diferentes soluciones en diferentes marcos. Como las funciones de onda serán diferentes, su cuadrado, que dará las probabilidades de encontrar el estado en un dado (x,y,z) en el tiempo t, será diferente.

Las ecuaciones relevantes para situaciones relativistas son la de Klein Gordon para bosones y la de Dirac para fermiones.

En física de partículas, la ecuación de Dirac es una ecuación de onda relativista derivada por el físico británico Paul Dirac en 1928. En su forma libre, o incluyendo interacciones electromagnéticas, describe todas las partículas con masa de espín ½, para las cuales la paridad es una simetría, como los electrones. y quarks, y es consistente tanto con los principios de la mecánica cuántica como con la teoría de la relatividad especial y fue la primera teoría en explicar completamente la relatividad especial en el contexto de la mecánica cuántica.

Como la materia que observamos está compuesta principalmente por fermiones, la ecuación de Dirac es la más relevante.

Cualquier solución a la ecuación de Dirac es automáticamente una solución a la ecuación de Klein-Gordon, pero lo contrario no es cierto.

Con el formalismo de la teoría cuántica de campos, los bloques de construcción, las soluciones de la ecuación de Dirac, no se discuten mucho.

Se me señaló que existen ecuaciones dependientes del tiempo que se analizan en esta pregunta aquí, y pueden ser de interés para las personas que deseen continuar con esto, después de leer la discusión en los comentarios.

-1 (al menos por ahora en la respuesta (v1)): no me queda claro a qué ecuación de Schrödinger se refiere el OP. Si el OP se refiere a la ecuación de Shrodinger para la evolución del tiempo, entonces no tiene nada de relativista; es, de hecho, completamente fundamental y generalmente se aplica a todos los sistemas cuánticos. Creo que es muy importante dejar eso claro.
@joshphysics Estoy asumiendo la ecuación de variedad de jardín.
Eso no lo reduce, me temo. Hay dos ecuaciones comunes que se conocen con ese nombre: i ℏ d | ψ ⟩ / d t = H | ψ ⟩ y − ( ℏ 2 / 2 metro ) ∇ 2 ψ + V ψ = mi ψ . El primero es relativista, pero el segundo no lo es.
@joshphysics cuanto más me acercaba al buscar que el primero es relativista era "es difícil demostrar que lo es". Tienes un enlace . Siempre tuve la impresión de que uno necesitaba el Klein Gordon para esto, incluso sin giros. ?
Cualquier libro sobre QFT relativista será suficiente, ya que el punto de partida para la evolución del tiempo es usar alguna "imagen" (por ejemplo, Schrodinger, Heisenberg, Interaction), todas las cuales son equivalentes a la evolución de Schrodinger. Pero para los escépticos, vea la ecuación 2.3 de las notas de la conferencia QFT de David Tong damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/two.pdf , y la cita que la rodea: "Toda la dependencia del tiempo se encuentra en los estados que evolucionan según la ecuación habitual de Schrödinger No estamos haciendo nada diferente de la mecánica cuántica habitual; simplemente estamos aplicando el antiguo formalismo a los campos".
@joshphysics: Con el debido respeto a David Tong... un estudiante inteligente motivado puede aprender lo esencial de QM no relativista en una semana, pero incluso ese estudiante necesitará un par de años para llegar a la mitad de velocidad en QFT. Si estuviéramos haciendo "exactamente lo mismo", entonces la vida sería muchísimo más fácil de lo que realmente es. Y si las simetrías de Yangian juegan un papel tan importante en QFT como algunas personas han llegado a creer, entonces es posible que hayamos estado viendo esto de una manera completamente incorrecta durante los últimos 60 años, de todos modos.
@CuriousOne Creo que eso podría ser un poco injusto para Tong en el sentido de que, sacado de contexto, uno podría interpretar la cita de la forma en que parece ser. Tong se refiere específicamente a la evolución del tiempo, y si me preguntan, es conceptualmente importante enfatizar que no hay nada nuevo en QFT en lo que respecta a la evolución del tiempo. Digo esto en parte porque, de manera más general, es importante darse cuenta de que QFT es un modelo dentro del marco de la mecánica cuántica, y señalar que la evolución del tiempo cuántico se adopta exactamente de la misma manera es un componente importante para enfatizar ese hecho.
@joshphysics No estoy disputando QFT. Quiero una demostración simple de que la ecuación S es relativista; Creo que el Klein Gordon es la versión relativista del S. al menos el artículo en wikipedia también debe estar equivocado entonces.
@joshphysics: Entiendo lo que David Tong quiere decir, pero en la práctica la pieza "...todo lo que estamos haciendo..." ha llevado a algunos de los seres humanos más brillantes más de medio siglo para lograrlo, y la confusión es probablemente mayor ahora de lo que la primera generación de teóricos de campo podría haber imaginado. Estoy de acuerdo en que uno puede tener una visión algo más amplia de la mecánica cuántica que QFT, que, sin embargo, no reduce la complejidad de su aplicación real, ni reduce las teorías relativistas de campos a una simple ecuación diferencial de primer orden como sugiere esa ecuación formal.
@annav La ecuación i ℏ d | ψ ⟩ / d t = H | ψ ⟩ es relativista en el sentido de que determina la evolución temporal de cada sistema cuántico , incluidos los sistemas relativistas como los descritos por el modelo estándar de la física de partículas. Estoy bastante confundido por lo que deseas exactamente. ¿Qué tipo de "demostración" quieres? Estoy de acuerdo en que las ecuaciones − ( ℏ 2 / 2 metro ) ∇ 2 ψ + V ψ = mi ψ y − ( ℏ 2 / 2 metro ) ∇ 2 ψ + V ψ = i ℏ ∂ ψ / ∂ t describir sistemas no relativistas. (una partícula masiva no rel) si eso es a lo que te refieres.
@joshphysics sí, la masa no es relativista y es difícil ver qué sucedería con energías relativistas. Así que supongo que mi "no" en la respuesta anterior se centra en eso, así como en la declaración en el artículo de wiki. en el KG sabes que estás tratando con el resto de la masa.
@joshphysics Supongo que es la derivada de primer orden en el tiempo que no permite ver la forma relativista mientras que el KG la tiene explícitamente.
Tengo la impresión de que estás confundiendo relativismo con ecuación manifiestamente covariante . La ecuación de Schrödinger en su forma general
(1) i ℏ d d t | ψ ⟩ = H ^ | ψ ⟩
es totalmente relativista, siempre que demos un hamiltoniano relativista H ^ , pero no es manifiestamente covariante (o invariante en la forma). Sin embargo, sigue siendo válido en cualquier marco de referencia. Por ejemplo, la ecuación de Dirac (interpretada como una ecuación de una partícula) se puede expresar muy fácilmente como (1) arriba, con H ^ = α i pag ^ i C + metro C 2 I .
@Cham La solicitud del OP sobre la probabilidad en el espacio claramente está preguntando sobre la covarianza, por lo tanto, esta respuesta aborda su preocupación. De hecho, la generalización covariante de la ecuación de Schr es la ecuación arcana, no local de Salpeter , con una relación de dispersión covariante, a expensas de un operador pseudo diferencial. ¡Pero un reloj atómico gobernado por Schr eqn claramente funciona a velocidades dependientes del marco! La pregunta no es un discurso abstracto sobre el espacio de Hilbert, sino una pregunta sobre "¿cómo impulsamos las respuestas"?
Solo por el bien de la claridad (estoy lejos de ser un experto), ¿"relativista" significa invariante de Poincaré aquí?
@N._Steinle: ¡No está claro! Tengo la extraña sensación de que están discutiendo sobre los teoremas recónditos de Hegerfeldt y Ruijsennaar sin explicarlo. Una densidad espacial no es invariante de Poincaré, pero si observa las respuestas explícitas más simples , o para el núcleo del operador invariante de Poincaré de Salpeter, parecen mostrar una cinemática relativista, con un giro adecuado.
@N._Steinle pequeña aclaración: el operador de Salpeter no es manifiestamente covariante de Lorentz (que es su padre, el KG), pero posee la estructura de cono de luz "conducente" a la covarianza ... Su espacio de solución es invariante bajo las transformaciones de Lorentz , Foldy 1956 .
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