¿Por qué −iℏ∇⃗ −iℏ∇→-i\hbar\vec\nabla para cantidad de movimiento en mecánica cuántica, mientras que mv⃗ mv→m\vec{v} en mecánica clásica?

$-i ħ \nabla$es el operador de cantidad de movimiento . Tienes que aplicarlo a una función de onda para obtener el impulso real.

Considere la solución de onda plana a la ecuación de Schrödinger:$\Psi = e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t}$. Aplicando el operador de cantidad de movimiento se obtiene$-i ħ \mathbf{k} \Psi$. Puedes ver que el valor propio tiene unidades de impulso. (Si no puede verlo, tenga en cuenta que$\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}$en el exponente es adimensional, por lo que claramente$\mathbf{k}$tiene unidades de longitud inversa.$ħ$tiene unidades de momento angular, entonces$ħ \mathbf{k}$tiene unidades de cantidad de movimiento.)

En cuanto a los factores de masa de la partícula, está en la ecuación de Schrödinger (y, por lo tanto, relacionada con la función de onda):$i ħ \frac{\partial}{\partial t} \Psi \left(\mathbf{r}, t \right) =\left[-\frac{ħ^2}{2m}\nabla^2 + V \left(\mathbf{r}, t \right)\right]\Psi \left(\mathbf{r}, t \right)$

En particular, la relación clásica entre cantidad de movimiento y energía cinética es$E = \frac{p^2}{2m}$. (Eso es lo mismo que tu$mv$, para$E = \frac{1}{2}mv^2$.) Nota para la partícula libre en la mecánica cuántica, es lo mismo.$E \Psi = - \frac{ħ^2}{2m}\nabla^2 \Psi = \frac{\left(-iħ\nabla\right)^2}{2m} \Psi = \frac{p^2}{2m} \Psi$

yo) por un lado$-i\hbar{\bf\nabla}$es la representación de Schrödinger (posición) del operador de momento canónico/conjugado$\hat{\bf p}$para satisfacer el CCR

$$\tag{1} [x^i, p_j]~=~\hbar {\bf 1}~\delta^i_j.$$

II) Por otra parte,$m\hat{\bf v}$es el operador de momento cinético/mecánico. (Para simplificar, imaginemos un entorno no relativista.)

III) Estos dos conceptos de momento no son lo mismo, por ejemplo, en presencia de un campo electromagnético, consulte, por ejemplo, esta respuesta de Phys.SE.

IV) Supongamos ahora que estamos en una situación en la que el operador de momento canónico/conjugado$\hat{\bf p}$y el operador de momento cinético/mecánico$m\hat{\bf v}$coincidir. Entonces podemos representar el operador de velocidad como

$$\tag{2} \hat{\bf v}~=~\frac{\hbar}{im}{\bf\nabla}$$

en la representación de Schrödinger (posición).