Velocidad angular sobre un punto arbitrario

Está hablando del concepto del "cuerpo rígido extendido" que abarca todos los puntos en el espacio que giran conjuntamente con el cuerpo, independientemente de si está ubicado físicamente en el cuerpo o no.

El salto conceptual aquí es el siguiente:

Está acostumbrado a pensar en partículas que viajan sobre un cuerpo rígido y rastrear su velocidad a medida que se mueven. Pero si tienes una lupa mágica y donde sea que la coloques en el espacio midas la velocidad de cualquier partícula que pase por debajo, entonces aún puedes usar

$$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$$ pero$\vec{r}$es la ubicación de la lupa y no cualquier partícula en particular en el cuerpo. Por lo tanto, puede mover libremente la lupa a cualquier lugar del espacio e imaginar cuál sería la velocidad de una partícula si estuviera debajo de ella, incluso si el cuerpo no se extiende hasta este lugar.

Por lo tanto, el concepto de cuerpo extenso es necesario donde$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$se convierte en una ecuación de campo que se aplica a todos los puntos en el espacio. Esto también se denomina marco giratorio, y es crucial para la dinámica poder tomar derivados de vectores que se desplazan sobre marcos giratorios (independientemente de si residen en un cuerpo físico o en el cuerpo extendido).

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Con un poco más de rigor se puede demostrar que dos puntos en el espacio que se desplazan sobre el mismo marco extendido giratorio y mantienen fija su distancia deben obedecer la cinemática de

$$\vec{v}_A = \vec{v}_B + (\vec{r}_B-\vec{r}_A) \times \vec{\omega} \tag{1}$$ independientemente de dónde estén los puntos. Así, si todos los puntos siguen la misma cinemática, deben compartir la misma$\vec{\omega}$, o de lo contrario la ecuación anterior no sería válida en todos los puntos.

La longitud entre dos puntos es$\ell = \sqrt{ (\vec{r}_A-\vec{r}_B) \cdot (\vec{r}_A-\vec{r}_B) }$o

$$(\vec{r}_A-\vec{r}_B) \cdot (\vec{r}_A-\vec{r}_B) = \ell^2 = \text{(const.)}$$

de la cual se toma la derivada del tiempo

$$2(\vec{v}_A-\vec{v}_B) \cdot (\vec{r}_A-\vec{r}_B) = 0$$

ahora usa (1) arriba para obtener

$$2 ( \vec{v}_B + (\vec{r}_B-\vec{r}_A) \times \vec{\omega} - \vec{v}_B) \cdot (\vec{r}_A-\vec{r}_B) = 2 ( (\vec{r}_B-\vec{r}_A) \times \vec{\omega} ) \cdot (\vec{r}_A-\vec{r}_B) \equiv 0$$

y probar (1)

No, considere una partícula (digamos A) en reposo (con respecto a la tierra) a una distancia X (fuera del cuerpo rígido) del eje alrededor del cual gira el cuerpo rígido. Ahora considere otra partícula (B) en el cuerpo rígido a una distancia R del eje de rotación. Voy a hacer todos los cálculos con respecto a la tierra.

Velocidad de B =$\omega$R,

Velocidad de A = 0,

Velocidad de A con respecto a B = 0 -$\omega$R = -$\omega$r

Ahora, desde el def. de velocidad angular,

velocidad angular de A con respecto a B = -$\omega$R/(XR)

Que claramente depende de X, por lo tanto, no será lo mismo.

Espero que esto ayude

Sugerencias/correcciones [si las hay;)] son ​​bienvenidas.

¿Cada punto rota con, digamos, Ω⃗ relativo a A?

No.

Supongamos que A se mueve con el COM del cuerpo. Es un punto estático en el marco del COM. Tomar una línea recta desde A pasando por el COM del cuerpo rígido.

Hay 2 puntos donde la línea cruza la superficie del cuerpo, uno más cerca y otro más lejos.

Si el cuerpo tiene un vector de velocidad angular instantánea$\omega$con respecto al COM, las velocidades medidas desde A son las mismas que las medidas desde COM porque están en el mismo marco:

$v_c = \omega (r_{COM} - r_c)sin(\theta)$
$v_f = -\omega (r_f - r_{COM})sin(\theta)$

$\theta$es el ángulo entre la línea y el eje instantáneo de rotación del cuerpo. Las velocidades tienen signos opuestos porque están en lados opuestos del eje de rotación.

Para que los 2 puntos tengan la misma velocidad angular con respecto a A, las relaciones de velocidad lineal y radio deben ser las mismas:

$$\frac{\omega (r_{COM} - r_c)sin(\theta)}{r_c} = -\frac{\omega (r_f - r_{COM})sin(\theta)}{r_f}$$

A menos que$sin(\theta) = 0$, lo que significa que A es colineal con el eje de rotación del cuerpo, la expresión anterior requiere:$r_f = r_c \implies$el cuerpo rígido se reduce a una masa puntual.

Otra posibilidad es si A gira con el cuerpo. En este caso le pertenece, aun estando separado de alguna distancia.

Sí. Para una imagen intuitiva, considere esto: extienda el cuerpo rígido desde un punto hasta el punto A mediante una varilla rígida delgada (de modo que el punto A esté justo dentro de la varilla). Considere el cuerpo y la barra como un solo cuerpo rígido. Ahora usa tu primera declaración en negrita.

Esto es cierto cuando la velocidad angular instantánea (que es la relación$d\Omega/dt$) del cuerpo y no la posición relativa del punto A con respecto al cuerpo o su eje de rotación cuando se mira en un espacio inercial de coordenadas.