Calcule el momento angular total del objeto que gira alrededor de 2 ejes (por ejemplo, la Tierra)

Sorprendentemente, la regla para sumar dos velocidades angulares no depende de si el "eje de estas velocidades angulares" atraviesa el objeto o no, y si se cruzan o no.

La velocidad angular de un cuerpo no depende de su elección de marco de referencia inercial. Supongamos que tenemos una flecha pegada al cuerpo; en el momento$t_0$esta flecha apuntaba a una estrella lejana$A$; en el momento$t_1$esta flecha apuntaba a otra estrella distante$B$- bueno, si es cierto, entonces es cierto en todos los marcos de referencia inerciales. Y qué tan rápido cambia la orientación del cuerpo: no depende del marco de referencia (siempre que el marco de referencia sea inercial).

Ahora vamos a medir la velocidad angular total de la Tierra. Es posible medirlo primero en el marco de referencia unido al Sol y girando de tal manera que la velocidad de la Tierra es cero. Digamos que la velocidad angular de la Tierra en este marco de referencia es$\vec\omega$. La velocidad angular del marco de referencia es$\vec\Omega$, por lo que la velocidad angular total de la Tierra es$\vec\omega + \vec\Omega$. Es un vector que se dirige hacia la estrella polar, su magnitud es de aproximadamente$1/86164sec$- donde 86164 es el número de segundos en el día sideral, es decir, el período de rotación de la Tierra en relación con las estrellas distantes.

Ahora a la segunda parte de su pregunta: "En cada libro de texto/página web que he visto hasta ahora, he visto que el momento angular debido a la órbita del sol se calcula por separado del momento angular debido a la rotación de la Tierra sobre su propio eje. "

Esta vez el marco de referencia está unido al Sol y es inercial. La forma "justa" de calcular el momento angular total de la Tierra en este marco de referencia es dividir la Tierra en muchas partes pequeñas, calcular el momento de cada parte y resumir los resultados. Una forma más fácil sería calcular el momento alrededor del centro de masa de la Tierra, que calcular el momento de la Tierra como si toda su masa estuviera ubicada en su centro de masa y sumar estos dos vectores. El resultado total sería el mismo: es un teorema matemático simple.

Tenga en cuenta que el impulso debido a la rotación de la Tierra alrededor de su eje es mucho menor que el impulso debido a la rotación de la Tierra alrededor del Sol. Más importante aún, no solo el momento total de Erath (es decir, la suma de estos dos vectores) es constante en el tiempo, ¡cada uno de estos componentes es constante en sí mismo! (ignoramos la influencia de la Luna y otros planetas). Entonces, si desea calcular los detalles de cómo la velocidad de la Tierra depende de la distancia al Sol (leyes de Keppler), puede ignorar con seguridad la parte de "rotación alrededor del propio eje" del momento angular de la Tierra.

Primero, considere que el giro de la Tierra forma un ángulo con el eje orbital.

Aquí

$$\begin{array}{r|c|c|c}\\ \text{Quantity} & \text{Symbol} & \text{Value} & \text{Units} \\ \hline \text{orbital distance} & R & 1 & \text{AU} \\ & & 1.496\cdot 10^{11} & \text{m} \\ \text{orbital speed} & \Omega & 1 & \text{rev/year} \\ & & 1.991\cdot 10^{-7} & \text{rad/s} \\ \text{spin} & \omega & 1 & \text{rev/day} \\ & & 7.2921\cdot 10^{-5} & \text{rad/s} \\ \text{axial tilt} & \theta & 23.4 & \deg \\ & & 0.4084 & \text{rad} \end{array}$$

La rotación combinada (dado el título sobre el eje x negativo desde arriba) es

$$\vec{w} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1.991 \cdot 10^{-7}} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \pmatrix{0\\0\\7.2921 \cdot 10^{-5} } = \pmatrix{0 \\ 2.8961\cdot 10^{-5} \\ 6.7123\cdot 10^{-5} }\; \text{[rad/s]}$$

que se puede traducir en

$$\vec{w} = \pmatrix{0 \\ 5.9735 \\ 13.845 } \; \text{[deg/hr]}$$

Lo interesante es que puedes calcular el centro instantáneo de rotación de la tierra en relación con la tierra.$(c_y,c_z)$($c_z$se muestra negativo a continuación). Este es el punto alrededor del cual la tierra está realmente girando.

Para encontrar el punto, calcule la velocidad orbital (el eje x positivo está fuera de la página)

$$\vec{v} = \vec{\Omega} \times \pmatrix{0\\-R\\0} = \pmatrix{ 2.9785\cdot 10^{4} \\ 0 \\0} \;\text{[m/s]}$$

y luego el centro de rotacion

$$\pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \frac{ \vec{w} \times \vec{v}}{ \| \vec{w} \|^2} = \pmatrix{0 \\ 3.7410\cdot 10^{8} \\ -1.6141\cdot 10^{8} }\;\text{[m]}$$

lo cual es interesante considerando en unidades de distancia lunar (1 LD = 384402000 m )

$$\pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \pmatrix{ 0 \\ 0.9732 \\ -0.4199 }\;\text{[LD]}$$

que es casi una LD hacia el sol siempre, y la mitad de LD debajo de la tierra en el solsticio de verano, y la mitad de LD sobre la tierra en el solsticio de invierno.

Ahora que se ha establecido la cinemática de la tierra, podemos hablar de dinámica.

La tierra gira con$\vec{w}$y entonces su momento angular en el centro de la tierra es

$$\vec{L}_E = \mathrm{I}_E\, \vec{w}$$ dónde${\rm I}_E$es el momento de inercia de la masa de la tierra.

Pero como la tierra también se está trasladando, tiene un momento lineal.

$$\vec{p} = m_E \vec{v}$$ .

Para calcular el momento angular de la tierra con respecto al sol, combinamos ambas cantidades con la siguiente regla

$$\vec{L}_S = \vec{L}_E + \pmatrix{0\\-R\\0} \times \vec{p}$$

Si realiza el cálculo, encontrará la mayor parte del momento angular a lo largo del eje z , con una pequeña componente a lo largo del eje y .

Lo interesante es que puedes encontrar la ubicación en el espacio por donde pasa el eje de percusión de la tierra. De manera similar a lo anterior, este punto es

$$\pmatrix{0\\h_y\\h_z} = \frac{ \vec{p} \times \vec{L}_E}{ \| \vec{p} \|^2}$$

La importancia de este punto en el espacio es que si aplicaras un impulso igual y opuesto$\vec{p}$a la tierra a través del centro de percusión, la tierra no solo dejaría de orbitar sino que también dejaría de girar . Puedes eliminar toda la energía cinética de la tierra con un solo impulso a través de este punto. Detendría la tierra en seco.