Velocidad angular no constante en órbita

Consideremos esto en dos partes: primero, una exposición de cómo funciona esto para un físico capacitado que tiene acceso a las herramientas del cálculo multivariante, y segundo, un examen de cómo podría explicar esto a los estudiantes en una clase introductoria basada en álgebra y trigonometría ( sin cálculo).

Vista sofisticada

Así como la formulación adecuada de la regla dinámica newtoniana es$\vec{F}_\text{net} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}$en vez de$\vec{F}_\text{net} = m \vec{a}$, la formulación adecuada de la regla dinámica para rotaciones es (tratando el caso del eje fijo para que podamos prescindir de la notación vectorial):

$$\begin{align} \tau_\text{net} &= \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} \\ &= \frac{\partial L}{\partial \omega} \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial L}{\partial I} \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} \\ &= I \alpha + \omega \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\;. \end{align}$$ Por supuesto, en el caso de objetos rígidos en rotación libre tenemos $\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = 0$para que esto se convierta $$\tau_\text{net} = I \alpha \;,$$ pero para objetos mutables o casos donde el eje de rotación se mueve, necesitamos ambos términos.

Además, cuando el par externo neto es cero, podemos escribir

$$I \alpha = -\omega \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} \;.$$

Vista del aula

Los estudiantes no tienen las herramientas matemáticas para analizar el argumento anterior en la forma escrita, por lo que debemos proporcionar un andamiaje de algún tipo.

Trabajarlo como un problema de conservación.

(Siguiendo una sugerencia de Acumulación en los comentarios).

Si tienes la regla de conservación del momento angular, solo tienes que ir con

$$\begin{align} L_f &= L_i \\ I_f \omega_f &= I_i \omega_i \\ \end{align}$$

Presente la idea de que necesita un término para los cambios en la tendencia inercial

Tomé una grieta en esto en los comentarios, y como usted dice, es menos que satisfactorio porque esos problemas de "descarga una carga directamente hacia abajo" realmente involucran múltiples partes de un sistema de una manera que no es exactamente análoga a la pregunta en cuestión.

Es probable que su estudiante inteligente acierte en la diferencia si se presentan juntos.

Abordarlo a nivel de fuerzas y pares para motivar la necesidad de un segundo término

(Esto es lo que pidió en su comentario de seguimiento).

La observación clave aquí es rastrear un solo elemento de masa a través de un cambio en el radio de$r_1$a$r_2 \ne r_1$. ¹ Durante el tiempo que ocurre el cambio radial, la masa continúa moviéndose "alrededor" del centro de rotación, pero la trayectoria del elemento de masa no es un círculo centrado en el eje. Eso significa que las fuerzas netas que actúan sobre el elemento de masa no son centrípetas y, por lo tanto, ejercen un trabajo distinto de cero sobre el elemento de masa:$\vec{F}_\text{net} \cdot \vec{s} \ne 0$.

Haga que los estudiantes verifiquen esto por sí mismos.

Pero eso hace que la energía cinética de traslación del elemento de masa aumente cuando se acerca al centro o disminuya cuando se mueve hacia afuera. De cualquier manera no hay manera de$\omega$para permanecer constante.

No obstante, para las fuerzas centrales todavía tenemos$\tau = 0$. Pero eso lleva a una contradicción si insistes en que$\tau_\text{net} = 0$es la regla completa para este sistema. Como resultado debemos introducir una parte que depende de variar$I$.

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¹ Esto es completamente natural en el problema orbital que ofreces, pero vale la pena decirlo explícitamente para que lo recordemos cuando trabajemos con objetos sólidos mutables en rotación.

No tengo la capacidad de simplemente comentar, así que intentaré convertir esto en una respuesta.

Parece que la "ruptura en la lógica" viene al intentar aplicar$\tau_{ext}=I/\alpha$a este problema Me hizo mirar los libros de texto que tengo y solo uno (Halliday y Resnick de antaño) fue realmente explícito al decir que esta ecuación solo se aplica a cuerpos rígidos, aunque así fue como se derivó. Esto se pasa por alto a menudo, al igual que la advertencia de que$F=ma$solo se aplica a problemas de masa constante. Esto parece que podría ser un buen punto de aprendizaje para los estudiantes que tienen que comprender los límites de las ecuaciones que se les dan.

La analogía directa entre el problema mencionado del carbón y la tolva es la caída de un aro concéntrico que no gira sobre un disco giratorio. Aquí has ​​cambiado$I$de forma sencilla de calcular y sin pares externos (si su sistema son los dos objetos).

Un caso muy simple sin pares externos (¡sin período de fuerza!) y una velocidad angular cambiante (por lo tanto$\alpha\neq 0$) que es similar a su problema es una sola partícula que se mueve en el plano xy paralelo al eje x con y=1. El momento angular con respecto al origen es constante, pero la velocidad angular aumenta mucho cerca del eje y llega a cero lejos del origen. Ya que$I$está cambiando uno no puede usar la ecuación de analogía de Newton.