¿Por qué la velocidad angular del marco del cuerpo es distinta de cero?

Gran pregunta; Recuerdo estar tan confundido por esto cuando tomé por primera vez mecánica analítica.

Los componentes de la velocidad angular "en el marco del cuerpo" no son cero porque cuando uno escribe estos componentes, uno no se refiere a las medidas de los movimientos de las partículas en el marco del cuerpo (porque, por supuesto, las partículas son estacionarias en este marco). En cambio, uno se refiere a la velocidad angular medida en un marco inercial pero cuyos componentes simplemente se han escrito con respecto a una base variable en el tiempo que gira con el cuerpo.

En la práctica, hacemos mediciones de las posiciones$\mathbf x_i(t)= (x_i(t),y_i(t),z_i(t))$de las partículas en un marco inercial. Entonces, notamos que para un cuerpo rígido (consideremos rotación pura por simplicidad), la posición de cada partícula$i$satisface

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Una vez que tengamos$\boldsymbol\omega$, podemos escribir sus componentes con respecto a cualquier base que queramos. Si lo escribimos en la base ordenada estándar$\{\mathbf e_i\}$, entonces obtendremos$\omega_x(t)$como sus componentes. Si lo escribimos en alguna base$\{\mathbf e_{i,B}(t)\}$que gira con el cuerpo (como uno que apunta a lo largo de los ejes principales del cuerpo), entonces obtenemos diferentes componentes$\omega^i_B(t)$, y estos son los componentes del cuerpo.

Punto principal reiterado. La velocidad angular se mide con respecto a un marco inercial, pero sus componentes se pueden tomar con respecto a cualquier base que deseemos, como una rotación con el cuerpo.

Porque el vector de velocidad angular ω se "mide" en el marco inercial y simplemente se expande/escribe utilizando la base del marco del cuerpo. Y hacemos esto para eliminar la diagonalización del tensor del momento de inercia.

Es porque el movimiento es relativo. Cuando dice que un cuerpo se mueve (o gira), su declaración debe involucrar exactamente dos marcos. Nunca puede hacer una declaración con respecto a un movimiento que involucre solo un cuadro. Así que siempre estás diciendo que hay movimiento en el cuadro x con respecto al cuadro y o viceversa. Nunca dices que hay movimiento en el cuadro x sin referencia a ningún otro cuadro.

Ahora, suponga que está parado en el marco del mundo y dice que el marco del cuerpo se mueve con respecto al marco del marco con velocidad v . Sin embargo, si estuvieras sentado sobre el cuerpo, no dirías que el cuerpo ha dejado de moverse, sino que dirías que el resto del mundo ahora se mueve con una velocidad -v con respecto a ti. De manera similar, cuando el cuerpo gira y usted está sentado sobre el cuerpo, la velocidad angular relativa entre usted y el resto del mundo no es cero sino:$\omega$.

Entonces, en resumidas cuentas... Cuando dices que una cantidad vectorial es x en el marco mundial, implícitamente estás diciendo que el otro marco al que te refieres es el marco corporal. De manera similar, cuando dice que alguna cantidad es x en el marco del cuerpo, implícitamente está diciendo que otro marco es el marco del mundo. La velocidad relativa de la estructura del cuerpo con respecto a la estructura del cuerpo, por supuesto, sería 0 en todo momento.