La formulación de la integral de trayectoria de Feynman de la mecánica cuántica se basa en los siguientes dos postulados:
Si se realiza una medición ideal para determinar si una partícula tiene un camino en una región del espacio-tiempo, la probabilidad de que el resultado sea afirmativo es el cuadrado absoluto de una suma de contribuciones complejas, una de cada camino en la región.
Los caminos contribuyen igualmente en magnitud pero la fase de su contribución es la acción clásica, es decir, la integral de tiempo del Lagrangiano tomado a lo largo del camino.
Supongamos que esos postulados son tan naturales como pueden ser, es decir, no son una versión destilada de algo más elemental. Si este es el caso, entonces, ¿cómo explicar, en términos sencillos, que los niveles discretos de energía, por ejemplo, el oscilador armónico, surgen de esos dos postulados? ¿Hay respuestas cualitativas?
No estoy seguro de lo que espera de los ejemplos cualitativos en "términos sencillos". La amplitud de la evolución temporal de un punto a otro,
Específicamente, la acción clásica para el oscilador, de la referencia de WP anterior, equivale a
El propagador, entonces, la amplitud anterior, se puede evaluar a partir de la integral funcional como
Esta expresión también es igual al propagador espacial de Hilbert convencional en términos de funciones de Hermite,
Reescribe esto como
El Los modos de Fourier de R(T) y luego multiplicar este prefactor de energía de punto 0 se pueden comparar con la expansión de estado propio del espacio de Hilbert estándar del resolvente, para asegurarle el espectro cuantificado estándar del oscilador cuántico,
Aquí, frente a la discreción, basta apreciar la periodicidad esencial del sistema, la compacidad que obliga a una estructura armónica: la ondulación del sistema; y que la mayor parte es atribuible a la acción clásica en este (algo excepcional) paradigma cuadrático hamiltoniano.
En su libro de texto elemental, Feynman y Hibbs lo resuelven muy bien en los problemas 2-2, 3-8 (ecuaciones 2-9, 3-59) y "pico" en las ecuaciones (8-12), (8-13). (Incluso van ridículamente más allá de eso, tratando de hacer que usted "vea" que el kernel de Mehler se deconstruye a sí mismo en polinomios de Hermite, en mi opinión, llevando las solicitudes de su tipo demasiado lejos). En cualquier caso, seguir las matemáticas simples es en realidad menos oscuro. que resumirlo en palabrería de "código".
Debido a que esta es una pregunta conceptual, tal vez necesite una respuesta conceptual simple:
La integral de trayectoria de Feynman se puede representar como la integral de sobre todos los caminos posibles. Nota la en el exponente, lo que obliga a que el integrando sea periódico con respecto al valor de S (que es de valor real). Establecer la variación de la integral igual a cero selecciona conjuntos discretos de caminos. Esa, creo, es la forma más sencilla de entender la discreción de los estados de energía en el oscilador (cuya energía está estrechamente ligada a S).
por simetría
Juan Rennie
qmecanico
knzhou
Stéphane Rollandin